高次方程及解法

一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“?1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、 ?1判根法

在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。求出方程的?1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。“?1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1 解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0

解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),

? (x4+2x3-9x2-2x+8)?(x-1)= x3+3x2-6x-8

观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1），? （x3+3x2-6x-8）? (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ? 原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4

点拨提醒：在运用“?1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法

根据定理:“如果整系数多项式anxn＋an-1xn-1+?+a1x+a0可分解出因式Px-Q,即方程anxn＋an-1xn-1+?+a1x+a0=0有有理数根（Ｐ、Q 是

PQ高次方程及解法??

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互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数an 的约数，Q一定是常数项 a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：

第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的

高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

例1 解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0

解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数?1、?2、?3、?6

第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除?1根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）

第三步：用长除法将原方程降次。（x4+2x3-4x2-5x-6）?(x-2) (x+3)= x2+x+1

第四步：解一元二次方程x2+x+1=0

x=

?b?b?4ac2a3i1

2=

?1?1?4?1?12?1?23i2??1?23i

? x=?1?2, x2=, x3=2 x4= -3

第二种类型，首项系数不为1 。对首项系数不为１的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而

PQ不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐx－Ｑ），其余的解法步骤同首项系数为１的解法步骤相同。

例２ 解方程３x3-２x2＋９x -6＝０

解：将原方程化为 ３（x3-x2＋３x -２）＝０ 此时，“常数项”

32为-2，它的约数为 ?1，?2 ，根据“?1判根法”排除?1，这时，代人原方程验算的只能是=，或= -

P3Q2QP23??2?32?2?2?288?f()=3????????3??2??3????2?2??3?3?3273?27?????3??2=3?0=0

所以原方程中有因式（3 X-2）。

（3x3-２x2＋９x -6）?(3x -2)= x2+3 解方程式x2+3=0 x=

原方程的解为x1=

?23i23i，

?2x1=

3i3i2 ，x2=-233i2

，x2= ，x3=

三、倒数方程求根法 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。

如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，a?e,b?d或者a= -e,b= -d

2、性质：倒数方程有三条重要性质： （1）倒数方程没有零根；

（2）如果a是方程的根，则也是方程的根；

a1（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。

3、倒数方程求解方法： 如果a x4+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x?0,所以，方程两边同除以x2得：a(x2+x+=y, x2+

x11x21x2)+b(x+)+e=0,令

x1=y2-2,即原方程变为：

1xay2+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+=y，解得x的值。 例1 解方程2 x4+3x3-16x2+3x+2=0

解：? x2 ? 0 ? 方程两边同除以 x2 得：2x2+3x-16++

232x2-2]+3（x+）-16=0, 令x+=y, 代入方程整理得：2y2+3y-20=0,

xx51x2x1=0,即2（x2+

1x2）+3（x+）-16=0, 2[（x+

x11x）

1解之得：y1= -4, y2= 即x+x=

?b?b?4ac2a31x2= -4, x2+1= -4x, x2+4x+1=0,

122==

?4?4?4?1?1232=

?4?=

?4?232=-2?3,

x1= -2+又? x+

3

, x2= -2 -52

2x2+2=5x, 2x2-5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0

?x=1, x=2

24

经检验知x1= -2+

3, x2= -2-

3，x3=, x4=2都是原方程的

21根。

例2 解方程6x5 - 4 x4 -3x3+3x2 -4x -6=0 解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根x=1,方程两边同除以因式（x-1）得：

6x4+10x3+7x2+10x+6=0，方程两边同除以x2并整理得：

26??x??1?1??+10x?????7?0, 令2x?x???5?655,y2??5?655y=

1x?x得6y2?10y?5?0

55y1? 方程x+

1x??5?6无实数

解：x?1x??5?655得：x2,3??5??55?12?1055?64

经检验知：

x1?1,x2????5??55?121055?64???是原方程的实数根。

点评讲析：例1、例2这些倒数方程的特征是首尾等距离对应

项系数相等，用一般表达式表述为ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中a=e,b=d,或者a= -e,b= -d对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能发现是“倒数方程”，两边同除以x2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系数又有这样的规律：如ax4+bx3+cx2+k?bx?k2?a?0(a?0)即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字b和与常数项k2相同的数字k的乘积，凡是具有这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。

例3：x4+5x3+2x2+20x+16=0

解：?e?16?42?1?k2? ， d=20=4?5?k?b 属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。原方程两边同除以x2 得： x2+5x+2+

4??216???x?2??5?x???2?0 设

x?x???20x?16x4x2?0，

2y=x+,则x?16x2?y?8

5即：y2+5y-6=0 y= -6或1,当y= -6时，x+当 y=1时，x+

4x?1(无实数根) ?x1??3?54x??6,x??3???3?5

, x2

四、双二次方程及推广形式求根法

双二次方程有四种形式：

第一种是标准式，如：ax4+bx2+c=0 ,此时设y=x2 原方程化为含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入x2之值，从而求出x之值。

第二种形式双二次方程的推广形式。 如：（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0 ,此时设y=(ax2+bx+c),也可转化为含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y

从而求出原方程的根x之值。

第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a）(x+c); (x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax2+bx+c）或成比例的多项式m(ax2+bx+c),然后