线性代数第六章二次型试题及答案

第六章 二次型

一、基本概念

n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为

f(x1,x2,…,xn)= a11x1+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+ a22x2+2a23x1x3+

2

2

n齐一次线性函数

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn ?????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn代入f(x1,x2,…,xn)得到y1,y2,…,yn的二次型g(y1,y2,…,yn). 把上述过程称为对二次型f(x1,x2,…,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵

c11 c12 … c1n C= c21 c22 … c2n … … …

cn1 cn2 … cnn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:X?CY

…+2a1nx1xn+ …+annxn2

=?aiixi2?2?aijxixj.

i?1i?j它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A

?a11a12?a1n??x1?????nnaa?a?21222n??x2?f(x1,x2,?xn)???aijxixj?(x1,x2,?xn)????? ???i?1j?1?????aa?a??x?nn??n??n1n2记X??x1,x2,?x?，则f(x1,x2,…,xn)= X TAX

Tf?XTAX?(CY)TA(CY)?YT(CTAC)Y

TT记B?CAC，则B?B，从而f?YBY。

T称对称阵A为二次型f的矩阵, 称对称阵A的秩为二次型f的秩.

由B?CAC知，两个n阶对称矩阵A与B合同且r(A)=r(B)

注意:一个二次型f的矩阵A必须是对称矩阵且满足f?XAX，此时二次

定理1：二次型f?XAX经可逆线性变换X?CY后，变成新的二次型

型的矩阵是唯一的，即二次型f和它的矩阵A（A为对称阵）是一一对应的，因此，

TTTf?YTBY，它的矩阵B?CTAC且r(A)?r(B)

也把二次型f称为对称阵A的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,xn的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.

222标准二次型 只含平方项的二次型，即形如f?d1x1?d2x2???dnxn

定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.

三、正交变换化二次型为标准型

T定理3：对实二次型f?XAX，其中A?A，总有正交变换X?QY，TTTT222使f?XAX?Y(QAQ)Y?Y?Y??1y1??2y2???nyn

T称为二次型的标准型。

规范二次型 形如x1??xp?xp?1??xp?q的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。

2222其中

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系

对二次型f(x1,x2,…,xn)引进新的变量y1,y2,…,yn,并且把x1,x2,…,xn表示为它们的

1

??1????????2??，??????n?为f的矩阵A的特征值。

因为Q是正交矩阵，则B?QAQ?QAQ，即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。

将二次型f用正交变换化为标准形的一般步骤为： （1）写出二次型f的矩阵A

（2）求出A的全部相异特征值?1,?2,??m，对每一个特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q，则Q为正交阵且QAQ?QAQ??为对角阵。（3）作正交变换X?QY，即可将二次型化为只含平方项的标准型

?1TT?1特征值的个数.

六、正定二次型和正定矩阵

定义1：如果当x1,x2,…,xn不全为0时,有f(x1,x2,…,xn)>0，称二次型f(x1,x2,…,xn)称为正定二次型

如果实对称矩阵A所决定的二次型正定,则称A为正定矩阵, 于是A为正定矩阵也就是满足性质:当X?0时,一定有X TAX>0，且A一定是是对称矩阵。

二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.

(2)性质与判断

实对称矩阵A正定?合同于单位矩阵. 即存在可逆矩阵Q使QAQ?E，或者存

在可逆矩阵P，使得PTEP?A

?对任意可逆矩阵C，CAC正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。

?A的正惯性指数等于其阶数n.

?A的特征值都是正数. ?A的顺序主子式全大于0.

顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r个(或称r阶)顺序主子式即

2p2p?1TT四、配方法(略,见例). 五、惯性定理和惯性指数

T定理4：若二次型f?XAX经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所

含平方项的个数等于二次型的秩。

定理5：一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的,但是它们的平方项

的系数中,正的个数和负的个数是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理

一个二次型所化得的规范二次型x??x?x21??x2p?q在形式上是唯一

A的左上角的r阶矩阵Ar的行列式|Ar|.

判断正定性的常用方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法.

的,称为其规范形，其中的自然数p,q就是原二次型的正,负惯性指数。

性质1：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.)

性质2：由正交变换法看出, 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)

A?0?A不可逆

?r(A)?n

?Ax=0有非零解 ?0是A的特征值

?A的列（行）向量组线性相关

2

A是n阶可逆矩阵：

?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0只有零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；

β可由α1，α2,…，αn惟一线性表示

β=x1a1+x2α2+…+xnαn

?Ax=β有惟一解x=(x1,x2,…,xn)T, A=(α1, α2,…, αn)

?r(A)=r(Aβ)=n

?|A|≠0

?Ax=0只有零解

?λ=0不是A的特征值

AB=0?A(b1,b2,…, bs)=0, B=( b1, b2,…, bs)

?Abj=0, j=1,2,…,s

?b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(?r(A)+r(B)≤n)

?若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量?A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

AB=C?A(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)

?Abj=Cj,j=1,2,…,r ?bj为Ax=Cj的解.

?C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示. [?r(C)=r(AB)≤r(A)或r(B)]

?C的行向量组可由B的行向量组线性表示。

例 题

一、概念型题

1.写出二次型f(x21,x2,x3)?2x1x2?x2?2x1x3?6x2x3的矩阵

?x2?1x1x2x1x3??011200?A???x2x1x2?2x???1?2x3??? 2题答案：?2210?x30? 1?3x1x3x2x2?11?3??3????1?30????0?0000??2.二次型f(x2221,x2,x3,x4)?x1?2x2?3x3?4x1x2?2x2x3的矩阵是______。

3.矩阵?124?A??22?1?对应的二次型是______。 ??13??4???答案：x22x21?2x2?33?4x1x2?8x1x3?2x2x3.

4.已知二次型f(x,x2231,x23)?a(x1?x2?x2)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变

换x=Py可化成标准型f?6y21，则a = 解：

?a?A???a?? 3a?6?0?0?6

??a??5.已知二次型xTAx?x2221?5x2?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3的秩为2，

（2，1，2）T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是 解：二次型对应的矩阵A为：

?1a1?aA??b?????1?2?a?5?0?5?a?1?b?a? r?A??2?a?b

??1b1????0b?a0???因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以??1a1??3,a?2?a?5a???2???2?1???1?，????1a1????????2????2??

3

2 A??E?????6????3??0??1?0,?2?3,?3??6，f?3y12?6y2二、化二次型为标准型

1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其

规范形。

222（1）f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

?x1?y1?y2?1?10??222 ?x2?y1?y2，X?Cy，C??110?，f??2?y1?y3??2y2 ?2y3???x?y?3?3?001?? 设：z1?y1?y3,z2?y2,z3?y3 ，

?101??z y?C2z??010????001??解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑成完全平方

222222f(xx(x2221,2,x3)?1?2x1x2?2x1x3)?x2?x3?2x2x3

=?x?2?x22221?x2?x32?x3?2x2x3?x2?x3?2x2x3

??x2221?x2?x3??2?x2?x3??2x2

?设?x1?x2?x3?y1??x?x1?y1?y2?x1??1?10????y1??2?x3?y2??x2?y3，??x?2???001y?，x?Qy ?x2?y3??01?1???2??x3?y2?y3??x3???????y3??标准型：f?y22y221?2?2y3，正惯性指数：p?2，负惯性指数：q?1 规范性：f?z2221?z2?z3

(2)

f(x1,x2,x3)= x12

+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3.

解：f(x,xx2212,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3=?x21?2?x3???x2?2x3??5x3?x1?x2?x3?y1设??x?2x?y ，x?Cy，标准型：f?y21?y22?5y23 ?232?x3?y3正惯性指数：p?2，负惯性指数：q?1，规范性：f?z2?z2212?z3

(3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3.

解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：

标准型：f??2z1?2z2?2z3，规范性：f??z1?z2?z3

2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：

?a0b?A???，因为a?2?2?1， ?020???b0?2??A??4a?2b2??12?b??2

（2）A??E????2?2???3??0??1??2?2,?3??3

?1?2?1??0,1,0?T ?2??2,0,1?T ?3??3?3??1,0,?2?T

因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。

?1??0,10?T?2?15?2,0,1?T?3?1T5?1,0,?2?

Q???221,?2,?3? Q?1AQ?QTAQ??1y1??2y2??23y3

3.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.

(1)求a.(2)求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个

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