2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义练习 新人教A版必修4

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

[A 基础达标]

1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( ) A.3 C．3

2

2

B.5 D．5

解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a－b＝4－1＝3.

2．(2019·北京市十一学校检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )

A.C.π 62π 3

B.D.π 35π 6

12

解析：选C.因为a·(a＋b)＝a＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，

22π

又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.

3

3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( ) A．2 C．6

解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a－a·b－6b ＝|a|－|a|·|b|cos 60°－6|b| ＝|a|－2|a|－96＝－72. 所以|a|－2|a|－24＝0.

解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C.

4．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则→→

AB·BC等于( )

222

2

2

2

B．4 D．12

A．－

3 2

B.3 2

3C．－

23D. 2

→→

解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝3，所以AB·BC3

＝1×3×cos 150°＝－.

2

→2→→→→→→

5．在△ABC中，若AB＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是( ) A．等边三角形 C．钝角三角形

B．锐角三角形 D．直角三角形

→2→→→→→→→2→→→→→→

解析：选D.因为AB＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，所以AB－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB， →→→→→→所以AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)， →→→2→→→

所以AB·CB＝BC，所以BC·(BC＋AB)＝0， →→

所以BC·AC＝0，

所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．

6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________．

解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|－3a·b＝－133－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.

22

3

答案：－

2

π

7．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝

3________．

π

解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos ＝1，因为(3a＋λb)⊥a，所以(3a＋λb)·a3＝3a＋λa·b＝3＋λ＝0，所以λ＝－3.

答案：－3

→→

8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形状是________．

1→→→→

解析：因为AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以2∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．

答案：等边三角形

11

9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.

22(1)求向量a，b的夹角； (2)求|a－b|.

2

2

1

解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，

2112222

所以a－b＝，即|a|－|b|＝，

22又|a|＝1，所以|b|＝2

.设向量a，b的夹角为θ， 2

11

因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，

22所以cos θ＝

2

，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°. 2

122222

(2)因为|a－b|＝(a－b)＝|a|－2a·b＋|b|＝，所以|a－b|＝.

2210．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1. (1)求a与b的夹角θ； (2)求(a－2b)·b；

(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1. 又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1， 12π

所以cos θ＝－，所以θ＝. 23

(2)易知a·b＝|a|·|b|cos θ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b＝－1－2＝－3. (3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，

所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa－3λa·b＋b·a－3b ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 4

所以λ＝.

7

[B 能力提升]

11．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，则向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为________．

解析：因为(2a－b)·(a＋b)＝2a＋2a·b－a·b－b＝2a＋a·b－b＝2×1＋1×1×cos 12

120°－1＝，

2

|a＋b|＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1， （2a－b）·（a＋b）11所以＝，即向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为. |a＋b|221

答案： 2

2222

2

2

2

2

2

2

2

→→→→

12．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝________．

→→→1→→→→

解析：由DC＝2BD，所以BD＝BC，BC＝AC－AB，

3→→→→→故AD·BC＝(AB＋BD)·BC

→→?→→?→1

＝?AB＋·（AC－AB）?·(AC－AB)

3??

?2→1→?→→

＝?AB＋AC?·(AC－AB)

3??3

1→→1→22→2

＝AB·AC＋AC－AB 333

1→→1→22→21228?1?1

＝|AB||AC|cos 120°＋|AC|－|AB|＝×2×1×?－?＋×1－×2＝－. 333333?2?38答案：－

3

13．(2019·山东青岛二中第二学段模块检测)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝5.

(1)求|2a－3b|；

(2)求3a－b与a－2b的夹角θ.

解：(1)因为|2a－b|＝4a－4a·b＋b＝4－4a·b＋1＝5，所以a·b＝0， 所以|2a－3b|＝4a－12a·b＋9b＝13.

（3a－b）·（a－2b）3a＋2b52

(2)因为cos θ＝＝＝＝， 2222

|3a－b||a－2b|9a＋b×a＋4b10×52又θ∈[0，π]，所以θ＝

π

. 4

2

2

2

2

2

2

2

→→

14．(选做题)在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD. →→

(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；

→→→→

(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值． →→

解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD·DC＝0， 2→→→→1→→2→

由CP＝2PD，得DP＝DC，CP＝CD＝－DC.

333