八年级下册十字相乘法因式分解教案

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十字相乘法分解因式（1）

一、教学目标：

1、进一步理解因式分解的定义；

2、会用十字相乘法进行二次三项式（x2?px?q）的因式分解；

3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。

二、教学的重点、难点

1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（x2?px?q）的因式分解。 2、教学难点：在x2?px?q分解因式时，准确地找出a、b，使ab?p，a?b?q。

三、导学过程：

（一）创设情境，导入新课：

1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？ 2、你知道x2?5x?6怎样分解因式吗？

（二）自主学习

我们知道?x?2??x?3??x2?5x?6，反过来，就得到二次三项式x2?5x?6的因式分解形式，即x2?5x?6??x?2??x?3?，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，?x?a??x?b??x2??a?b?x?ab，反过来，就得到

x2??a?b?x?ab??x?a??x?b? （三）合作探索

这就是说，对于二次三项式x2?px?q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即

x2?px?q?x2??a?b?x?ab??x?a??x?b?。可以用交叉线来表示：

+a x

x+b

十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 （四）、展示交流： 例1 把x2?3x?2分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的

两个因数必是同号，而2=1×2=(－1)( －2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。

例2 把x2?7x?6分解因式。 例3 把x2?4x?21分解因式。

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例4 把x2?2x?15分解因式。（后三个例题鼓励学生独立完成）

（五）点拨升华

通过例1︿4可以看出，怎样对x2?px?q分解因式？

如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。

如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。

（六）拓展提高

例5 把下列各式分解因式：

(1) x4?6x2?8 (2) ?a?b??4?a?b??3 （3）x2?3xy?2y2 （4）x4?6x?8

2

四、当堂检测：

1、把下列各式用十字相乘法因式分解：

（1）x2?x?6 （2）x2?5x?6 （3）x2?x?6 （4）x2?3x?4 （5）x2?3x?4

2、把下列各式因式分解：

（1）x2?5x?6 （2）x2?5x?6 （3）x2?5x?6 （4）x2?5x?6

3、把下列各式因式分解：

（1）x2?7x?12 （2）x2?4x?12 （3）x2?8x?12 （4）x2?8x?12 2、（1）若多项式x2?8x?m可分解为(x?2)(x?6)，则m的值为 .

（2）若多项式x2?kx?12可分解为(x?2)(x?6)，则k的值为 . 选作：若多项式x2?2x?m可分解为(x?3)(x?n)，求m、n的值.

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十字相乘法分解因式（2）

一、教学目标：

1、进一步理解因式分解的定义；

2、会用十字相乘法进行二次三项式，ax2?bx?c的因式分解；

3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。

二、教学的重点、难点

教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式ax2?bx?c的因式分解。

三、导学过程：

（一）创设情境，导入新课：

1、分解因式

（1）x2?x?6（2）x2?5x?6 （3）x2?x?6 （4）x2?3x?4 （5）x2?3x?4

2、分解因式 3x2?11x?10

（二）自主学习

?x?2??3x?5??3x2?11x?10。

反过来就得到： 3x2?11x?10??x?2??3x?5?。

想一想3x2?11x?10怎样因式分解的，有什么规律？ 总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成

1 2 3 5 后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。 （三）合作探索

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax2?bx?c进行因式分解？ 我们知道，

?a1x?c1??a2x?c2??a1a2x2?a1c2x?a2c1x?c1c2 ?a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2反过来，就得到

a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2??a1x?c1??a2x?c2?

（四）点拨升华

二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1 c1 a2 c2

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这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它们正好等于ax2?bx?c的一次项系数b，那么ax2?bx?c就可以分解成?a1x?c1??a2x?c2?，其中a1，c1位于上图的上一行，

a2，c2位于下一行。

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

四、当堂检测：

1、把下列各式分解因式：

(1)2x2?15x?7 (2) 3a2?8a?4 (3) 5x2?7x?6 (4) 6y2?11y?10

2、把下列各式分解因式：

（1）2x2?5x?3 （2）3a2?10a?3 （3）3b2?8b?3 （4）4m2?8m?3

3、把下列各式分解因式：

（1）5b2?17b?12 (2) 5a2b2?23ab?10 (3) 3a2b2?17abxy?10x2y2

(4) x2?7xy?12y2 (5) x4?7x2?18 (6) 4m2?8mn?3n2

(7) 5m2n2?23mn?10 （8）5x5?15x3y?20xy2 (9) m4n4?10m2n2?9