2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书全套打包下载第13章 选修系列

第十三章选修系列 选修4-4坐标系与参数方程

第1讲 坐标系

1．坐标系 (1)伸缩变换

?x（λ>0），?x′＝λ·

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：?的作用下，点P(x，y)对应到

y（μ>0）?y′＝μ·?

点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，

???x＝ρcos θ，?

则? ?y?y＝ρsin θ，?tan θ＝（x≠0）Ｗ.?

中取相同的长度θ)，

ρ2＝x2＋y2，

x?

3．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 4．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：

2ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r＝0.

导师提醒

熟记几种简单曲线的极坐标方程

曲线 圆心在极点，半径为r的圆 圆心为(r，0)，半径为r的圆 图形 极坐标方程 ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ (－π圆心为(r，)，半径为r的圆 2ππ≤θ<) 22ρ＝2rsin θ (0≤θ<π) (1)θ＝α(ρ∈R)或 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝π＋α(ρ∈R)， (2)θ＝α和θ＝π＋α ρcos θ＝a 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 π过点(a，)，与极轴平行的直线 2

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

ππ(－<θ<) 22ρsin θ＝a (0<θ<π) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) π

(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是?2，－?.( )

3??(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )

A．ρ＝B．ρ＝

π1

，0≤θ≤ 2cos θ＋sin θ

π1

，0≤θ≤

4cos θ＋sin θ

π 2π 4

1

，由0≤x≤1，得

sin θ＋cos θ

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

解析：选A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝

0≤y≤1，所以θ∈?0，

??π?

?.故选A. 2? 在极坐标系中，已知点P?2，

?

π?，则过点P且平行于极轴的直线方程是( ) 6?A．ρsin θ＝1 C．ρcos θ＝1

解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P?2，B．ρsin θ＝3 D．ρcos θ＝3

??

ππ?

?转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos 6＝3，y＝ρsin 6?

π

θ＝2sin ＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平等于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.

6

在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．

解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?1，－

法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos?θ＋π

答案：?1，－?

2??

π2π

在极坐标系中A?2，－?，B?4，?两点间的距离为________．

3?3???解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝6.

法二：因为A?2，－所以|AB|＝答案：6

|OA|＋|OB|＝

?

?π??. 2?

??π?π??

?，知圆心的极坐标为?1，－?. 2?2??

?

?π??2π?

?，B?4，?的直角坐标为A(1，－3)，B(－2，3?3??

23)．

（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.

平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)

?x′＝2x，

1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换?后的图形．

1

?y′＝3y

(1)5x＋2y＝0； (2)x2＋y2＝1.

1

??x＝2x′

解：伸缩变换?，则?，

1

?y′＝3y?y＝3y′

(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．

1x′＝x

2

(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆．

??x′＝3x，y2

2．求双曲线C：x－＝1经过φ：?变换后所得曲线C′的焦点坐标．

642y′＝y??

2

解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， x′

?x′＝3x，??x＝3，由?得?

2y′＝y，???y＝2y′，

x′2y′2y2

代入曲线C：x－＝1，得－＝1，

64916

2

x2y2

即曲线C′的方程为－＝1，

916

因此曲线C′的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)．

?X＝ax（a>0），?x2y2

3．将圆x＋y＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：?求a，b的值．

94?Y＝by（b>0），?

2

2

?X＝ax，?x＝aX，XY

解：由?得?代入x＋y＝1中得＋＝1，所以a＝9，b＝4，

ab1

?Y＝byy＝Y，?b

2

2

2

2

222

2

1

因为a>0，b>0，所以a＝3，b＝2.

??x′＝λx（λ>0），

(1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：?的作用下的变换方程的求法是将?代入y＝f(x)，

y′y′＝μy（μ>0）??y＝

μ整理得y′＝h(x′)为所求．

(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．

极坐标与直角坐标的互化(师生共研)

π7π? (1)已知直线l的极坐标方程为2ρsin?θ－?＝2，点A的极坐标为A?22，，求点A到直线l

4?4???

的距离．

(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．

x′

x＝，

λ

?π?

【解】 (1)由2ρsin?θ－?＝2，

?4?