2019年中考备战数学专题复习精品资料-第八讲-《一元二次方程及应用》（含详细参考答案和教师用书）

???学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）???

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2019年中考备战数学专题复习精品资料

第二章 方程与不等式

第八讲 一元二次方程及应用

★★★核心知识回顾★★★

知识点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程：只含有 个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的 方程，叫做一元二次方程。

2．一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式为 ， 其中二次项是 ，一次项是 ， 是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数

3．一元二次方程的解（根）：使方程左右两边 的未知数的值，就是一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

◆◆◆名师提醒◆◆◆ （1）一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件； （2）将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正。 知识点二、一元二次方程的解法 1．一元二次方程有如下四种解法： 直接开平方法 形如(x?m)2?n(n?0)的方程，两边 ，转化为两个一元一次方程求解。 把一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)通过 化成配方法 2(x?m)2?n(n?0)的形式，再用 求解。 2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)满足b?4ac?0，利用求根公式 2公式法 x=求解。 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个 的乘积，即可化为因式分解法 a(x?m)(x?n)?0(a?0)的形式，即可解得两根为： x1?,x2? 。 第-1-页（共53页）

2．用配方法解一元二次方程的步骤：

①化二次项系数为 ，即方程两边都 二次项系数； ②移项：把 项移到方程的 边；

③配方：方程两边都加上 ，把左边配成完全平方的形式；

④开方：方程两边同时开方（直接开平方法），目的是为了降次，得到一元一次方程； ⑤得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

◆◆◆名师提醒◆◆◆ 一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是配方法和公式法。 知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1．一元二次方程根的判别式

叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的根的判别式，一般用符号 表示，一元二次方程的根的情况由其判别式决定即：

（1）当 （2）当（3）当 时，方程有两个不等的实数根???方程有实数根? 时，方程看两个相等的实数根??时，方程没有实数根 ◆◆◆名师提醒◆◆◆ .

在使用根的判别式解决问题时，要注意： （1）当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式； （2）当二次项系数中含有字母时，一定要保证二次项系数不为0。 2．一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则：

x1?x2?,x1x2?。

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◆◆◆名师提醒◆◆◆ 应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点： （1）当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式； （2）应用x1?x2??b时，不要漏掉“－”号； a2（3）应用根与系数的公式前，首先确定判别式b?4ac?0是否成立，判别式b2?4ac?0是应用根与系数的公式的前提。 知识点四、一元二次方程的应用

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤，同列一元一次方程解应用题的步骤一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行，即： 列方程（组）解应用题的一般步骤是：

（1）审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量； （2）设：直接或间接设未知数；

（3）列：根据题意寻找等量关系列方程（组）； （4）解：解这个方程（组），求出未知数的值； （5）验：检验方程（组）的解是否符合题意； （6）答：写出答案（包括单位名称）。 2．应用题中常见的等量关系： （1）增长率等量关系：增长率=增长量?100%。

基础量一般类型：设原来量为a，平均增长（下降）率为x，则一次增长（下降）后的值为a(1±x)，两次增长（下降）后的值为a(1±x)2.

（2）利润等量关系：利润=售价－成本（进价），利润率=售价-成本(进价)?100% 。

成本(进价)（3）利息等量关系：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息；利息说=利息×税率。 （4）行程等量关系：路程=速度×时间。

（5）几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程。

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◆◆◆名师提醒◆◆◆ 因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。

★★★中考典例剖析★★★

考点一：一元二次方程的解

例1 （2018?荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ． 【思路分析】把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【解答】解：把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=-3， 因为k≠0， 所以k的值为-3． 故答案为-3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 当二次项系数中含有字母时，一定要保证二次项系数不为0。 ●●●触雷警示●●● 若二次项系数中含有字母，则二次项系数有可能为零，当二次项系数为零时，则方程无二次项，即方程不是一元二次方程，所有关于一元二次方程的解法与性质都无从谈起。日常做题时，同学们往往忽视含字母的二次项系数不为0这一条件导致出错！故一定要保证二次项系数不为0。 【跟踪训练】

1．（2018?南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根，则m-n的值为 ． 考点二：解一元二次方程

例2 （2018?深圳）给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn-1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（ ）

A．x1=4，x2=-4 B．x1=2，x2=-2 C．x1=x2=0 D．x1=23，x2=-23 第-4-页（共53页）