八年级数学上册1_1_2探索勾股定理教案新版北师大版

课题：1.1.2探索勾股定理

教学目标：

1．掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题． 2．经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 教学重点与难点：

重点：应用勾股定理解决简单的实际问题. 难点：用面积法验证勾股定理. 课前准备：

教师准备：多媒体课件.

学生准备：四个全等的直角三角形. 教学过程：

一、创设情境，引入主题

师：伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.

问题1：你能说出勾股定理的内容吗？

问题2：伽菲尔德是利用图1验证了勾股定理，你也能利用它验证勾股定理吗？

处理方式：问题1学生可以直接回答，对于问题2学生解决还有一定的难度，教师可先不作出解答，让学生带着疑惑走进课堂.

【教师板书课题：1.1探索勾股定理（2）】

设计意图：上节课仅仅是通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形仍需进行验证.巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索，不断深入.

二、合作交流，共同验证 活动一：拼图验证勾股定理

活动内容：如图2，是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你

a

c b

图1

c a b

开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证.

b

a c b

a c b

a c b

a c 图2

处理方式：不要限制学生的思维，留给学生充分的时间和空间，鼓励学生经过尝试、合作、交流、探索多样的拼图方法.教师可参与到学生的讨论中，发现同学们不足的地方，给予提示和指导,之后利用实物投影展示学生的成果，从中选择两种拼图方法为下面进行勾股定理的证明作准备.(课件动画展示拼图过程)

A a

b c c a 图3

a c c b B b

A a D B b D a C b c C

图4

问题1：图3中正方形ABCD的边长是 ，正方形ABCD的面积可表示为 .

问题2：图3中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，因此正方形

ABCD的面积还可以表示为 .

问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形，所以结果应 . 问题4：现在，你能验证勾股定理吗？ 问题5：利用图4如何验证勾股定理？

处理方式：学生借助问题1、2小组讨论交流各自的表示方法，对比发现两种计算图3面积的结果存在相等的关系，从而化简得出a+b=c成立. 教师巡视,多注意有困难的学生,给出适当的提示和帮助. 对于问题5，学生先独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解验证过程.

设计意图：设计这个活动，让学生体会数形结合的思想，通过探究图形的构成，亲身验证勾股定理的正确性，学生的动手、动脑能力得到了加强.图3、图4都能够证明勾股定理,并且这两个图形的证明方法类似,因此师生共同来完成一个即可，剩下的一个由学生独立证明,目的是学以致用，以实践操作强化对知识的理解.

2

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活动二：拓宽视野，深入了解勾股定理的证法

师：用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了400多种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们来欣赏几种！（课件出示）

问题：同学们，你能利用美国总统伽菲德所拼的图形验证勾股定理吗？ 处理方式：在教师的介绍下，学生通过欣赏几幅图片，了解中外古人对勾股定理证明的研究.学生尝试独立利用图5验证勾股定理，然后在班内交流展示，教师对学生的方法进行适当的指导.

设计意图：介绍中外古代人们对勾股定理证明的研究，特别

a

c b 图5

c a b

是勾股定理的无字证明，从另一个角度让学生感受勾股定理的证明思路，体会拼图方法的多样性,激发学生的学习兴趣.让学生验证总统证法的正确性，希望学生能关注知识、方法之间的内在联系，通过学生自身的实践活动加深对勾股定理的理解.

活动三：探究只有直角三角形才满足a+b=c.

师：我们已经验证了直角三角形满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形也满足这个关系吗？观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a+b=c. 2

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2

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a c b

b c a

图6

问题1：利用数格子的方法计算图中正方形的面积分别是多少？

问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三

边长满足的关系是什么？

处理方式：学生独立进行计算、观察、比较，然后班内交流，师生共同得出结论：锐角三角形中，a+bc；只有直角三角形才满足a+b=c.

设计意图：学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a,b,c不满足a+b=c这个结论，学生可以加深对勾股定理的认识，也为下一节直角三角形的判别打下基础.

三、典例解析，形成能力

例：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?

处理方式：先让学生独立进行解题，然后找一位同学交流自己的解题思路，最后教师利用课件展示规范的解题过程.

解：由勾股定理，得AB=BC+AC，即500=BC+400，所以BC=300.

敌方汽车10s行驶了300m，则1h行驶的距离为108000m，所以它行驶的速度为108km/h.

设计意图：为了巩固所学的勾股定理知识，教师逐步引导学生初步运用勾股定理解决实际的问题；强化应用的意识，在应用中体会勾股定理的价值.

四、巩固训练，深化提高

1．如图7，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行 米.

2．如图8是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M、O、Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？

图7

图8

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处理方式：学生在练习本上独立完成，完成后各小组组长负责纠正本组完成的题目，最后老师重点讲解.

设计意图: 在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，运用勾股定理解决实际问题的能力.