2016-2017学年高中数学人教A必修5章末综合测评2 Word版含解析

12．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为( )

A．S17 B．S18 C．S19 D．S20 【解析】 ∵a10<0，a11>0，且a11>|a10|， ∴a11＋a10>0.

20?a1＋a20?S20＝＝10·(a11＋a10)>0.

219?a1＋a19?19S19＝＝2·2a10<0.

2【答案】 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为________．

【解析】 由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝100[?a1＋b1?＋?a100＋b100?]

2

＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 000

14．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5＝________. 【导学号：05920082】

【解析】 由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，

∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15. 【答案】 15

15．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．

【解析】 设a1＝－24，公差为d，∴a10＝－24＋9d>0且a9＝－24＋8d≤0，8

∴3

?8?

【答案】 ?3，3?

??

16．已知公差不为零的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a5＝10，则S5＝________.

【解析】 设{an}的公差为d，则d≠0. 由lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，

2

得2lg a2＝lg a1＋lg a4，∴a2＝a1a4，

即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d2＝a1d.

又d≠0，故d＝a1，a5＝5a1＝10，d＝a1＝2， 5×4

S5＝5a1＋2×d＝30. 【答案】 30

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．

【解】 设该数列的公差为d，前n项和为Sn.由已知可得 2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)， 所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，

解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.

3n2－n

所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝2.

18．(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知

a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．

【解】 (1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·Sn＋2n(n∈N*)， ∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；

当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4； 当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8. (2)证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①

∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2， ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2. ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0. ∴Sn－1＋2≠0，∴＝2.

Sn－1＋2

即{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

19．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a4－a3＝2，所以d＝2.

又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4. 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)． (2)设等比数列{bn}的公比为q.

Sn＋2

因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16， 所以q＝2，b1＝4. 所以b6＝4×26－1＝128. 由128＝2n＋2得n＝63，

所以b6与数列{an}的第63项相等．

20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)，满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. 【导学号：05920083】

an

(1)令cn＝b，求数列{cn}的通项公式；

n

(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn. 【解】 (1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0， bn≠0(n∈N*)，

an＋1an所以－b＝2，即cn＋1－cn＝2.

bn＋1n

所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1. (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，

于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1， 3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n.

相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n， 所以Sn＝(n－1)3n＋1.

21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)记数列?a?的前

?n?

1

n项和为Tn，求使得|Tn－1|<1 000成立的n的最小值．

【解】 (1)由已知Sn＝2an－a1，有