线性流量阀维修

引理：若要使内孔旋转角度（称为开度）与“过流面积”满足线性关系（这种

关系称为面积特性曲线），则内孔曲线必满足其与外孔圆的交点横坐标之差衡为常数k，即x1?x2?k，其中x1,x2分别为内孔曲线与外孔圆的交点横坐标。或者可以说x1?x2?k即为面积特性曲线保持线性的必要条件。

证明：假设某一时刻内孔曲线向下移动h与圆相交，其方程为“过流面积”的增加量?S由三部f(x)?f?x??h，当曲线向下移动微元?h时，

分组成，两边近似三角形面积和中间矩形面积（如图1（b）所示），并可用以下积分表示：

?S??x2x4?G(x)??f(x)?h??h??dx??x3x1?G(x)??f(x)?h??h??dx???hdx （1）

x2x1若要使内孔旋转角度（称为开度）与“过流面积”满足线性关系（这种关系式称为面积特性曲线），则只须使曲线的向下移动距离与“过流面积”满足线性关系即可，即微元面积?S也与?h有线性关系：

?S?k?h （2）

曲线与圆的交点坐标x由方程G(x)?f(x)（表示f(x)下降时的曲线）求得：

G(xi)?1?xi2?f(xi)?f(xi)?h，i?1,2 （3） G(xi)?1?xi2?f(xi)?f(xi)?h??h，i?3,4 （4） 整理方程（1）至（4）得：

?g2(h)g4(h)?G(x)?f(x)?h??h?dx??g(h)?G(x)?f(x)?h??h?dx1g3(h)??g1(h)g2(h)?hdx?k?h （5）

其中gi?h?表示利用（3）、（4）式算出的xi关于自变量h的表达式，i?1,2,3,4，将（5）式整理可得：

?g2(h)g4(h)?G(x)?f(x)?dx??g3(h)g1(h)?G(x)?f(x)?dx （6）

?h?g2(h)?g4(h)?g3(h)?g1(h)???h(x3?x4)?k?h两边同时取微分，并用xi代替gi?h?，整理可得：

3

?G(x2)?f(x2)?h?dg2(h)dg(h)??G(x1)?f(x1)?h?1dhdh

dg(h)dg(h)??G(x4)?f(x4)?h?4??G(x3)?f(x3)?h?3?(x3?x4)?kdhdh在满足?h?0条件下，根据方程（3）、（4）得：

x3?x4?k （7）

即：x1?x2?k

（7）式的含义为：如果“过流面积”线性增加，则内孔曲线必满足其与外孔圆的交点横坐标之差为常数k。即在f?x?向下移动过程中，其与圆的交点横坐标之差为常数k。到此引理证明完毕。

以下在面积特性曲线呈严格线性关系时，对曲线f(x)的形状进行讨论。f(x)沿坐标系y轴的负方向移动，根据f(x)在与外孔圆交点处的斜率分两种情况讨论：

1. 如果斜率的符号相反，则下一时刻新产生交点的横坐标必然一个增大一个减

小，那么它们的差值改变，因而不满严格足线性关系，见图2；

2. 如果斜率的符号相同，在曲线下移过程中两交点横坐标在某一时间段内的增

减情况是一致的，但是当f(x)的某一交点先和外孔圆与X轴的交点重合后，该分支与外孔圆交点的横坐标的增减情况将改变，而另一交点横坐标的增减情况保持不变，此时差值改变，同样也不满足严格线性关系，见图3； 由以上分析我们得出结论：只有在曲线f(x)在同外孔圆两交点处的斜率都是无穷大的情况下，两交点的横坐标的差才是恒定的，此时，曲线下移距离与“过流面积”呈严格线性关系，见图4。

图2斜率的符号相反 图3斜率符号相同

4

Y轴1 x4 x3X轴-11-1图4 满足理想线性关系的内孔形状

由上图可见该曲线从开始下降到A点时，完全满足面积特性曲线呈线性关系，但是在A点以下就出现了非线性，且不满足题目中“最大范围”为外筒孔面积的要求，因此不可能存在严格线性关系的面积特性曲线，即不能通过选择内筒孔形状实现“过流面积”与内筒旋转角度呈严格的线性关系。

但此曲线证明了只要曲线与圆相交两点的横坐标之差为常数，那么面积特性曲线一定是线性的。

当曲线与圆相交面积最大时即为外圆的面积??R2??，又因为面积与下降距离成线性比例，故k??hmax

二、模型假设

1、阀体的旋转角度与内圆筒相对移动距离成正比，圆筒移动距离与“过流面积”成正比。

2．线性阀体内外筒为薄壁筒，不考虑其壁厚给设计带来的影响。

3、外圆筒直径与外圆孔直径相差很大，展开后外圆孔面积变化足够小，可近似视为圆形。

4、内筒在转动过程中，只存在周向水平运动，不存在垂直方向的运动。 5、假设内圆孔设计曲线与外圆孔曲线最多只有两个交点，可以有一段相切，且曲线连续。

6、为简化计算，假设外圆孔半径为一个单位长度。

5

三、变量设定

R：圆的半径，在本文中R为一个单位长度1；

F?x?：待求内孔的曲线方程； f?x?：内孔下边沿曲线方程；

G?x?：外圆孔上半圆方程，y?1?x2即圆的方程x2?y2?1；

?h：曲线下降的距离微元；

h：曲线F?x?下降到某一位置时其与初始位置的距离；

hmax：曲线F?x?从初始位置下降至“过流面积”达到最大值时的距离；

A、B、C、D：分别表示曲线F(x)在移动过程中与曲线G(x)的交点；

?x1,y1?，?x2,y2?，?x3,y3?，?x4,y4?：分别表示点A、B、C、D的坐标值；

k：曲线F?x?下降的距离与“过流面积”之间的线性比例；

?S??h?：曲线下降h时“过流面积”的增加量； “过流面积”的理想值，??h??kh。 ??h?：

五、基于问题1的模型建立

1.模型探索

在二维坐标系内，假设内孔曲线沿Y轴负方向移动。为了探索最佳内孔曲线形状，本文首先考虑四种特殊的内孔：矩形孔，凸圆孔，凹圆孔和凸凹圆孔，分别见图5，图6，图7及图8。

Y轴Y轴11X轴-11X轴-11-1-1图5 矩形孔

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图6 凸圆孔