江苏省南京市、盐城市、淮安市(淮安三模)高三数学第二次模拟考试试题(含解析)苏教版

由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1． 下面证明：f (n)＝n+1．

因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立． 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1， 则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2， 又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2． 即n＝k+1时，命题也成立． 所

以

f (n)＝

n+1 ………………………………………10分

解法二：由f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝5，猜想f(n)＝n＋1．

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1，2，3，4时，命题成立．

②假设当n≤k (k≥4)时，命题成立，下面讨论n＝k＋1的情形．

若k为奇数，则k＋1为偶数，且 根据归纳假设知f( 因为f(2) f( 所以3·

k＋1

2

≤k，

k＋3

2

≤k． )＝

k＋1

2

)＝

k＋1

2

＋1＝

k＋3

2

，f(

k＋3

2

k＋3

2

＋1＝

k＋5

2

．

k＋1

2

)＝f(k＋1)＋f(

k＋1

2

＋2－1)＝f(k＋1)＋f(

k＋3

2

)，

k＋3

2

＝(k＋1)＋

k＋5

2

，即(k＋1)＝k＋2．

若k为偶数，则k＋2，k＋4为偶数，且 根据归纳假设知f( 因为f(2) f( 所以3·

k＋2

2

≤k，

k＋4

2)＝

≤k．

＋1＝

k＋2

2

)＝

k＋2

2

＋1＝

k＋4

2

，f(

k＋4

2

k＋4

2

k＋6

2

．

k＋2

2

)＝f(k＋2)＋f(

k＋2

2

＋2－1)＝f(k＋2)＋f(

k＋4

2

)，

k＋4

2

＝f(k＋2)＋

k＋6

2

，即f(k＋2)＝k＋3．

又k＋1＝f(k)＜f(k＋1)＜f(k＋2)＝k＋3． 所以f(k＋1)＝k＋2

因此不论k的奇偶性如何，总有f(k＋1)＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立 于是对一切n∈N*，f(n)＝n＋1． 解法三：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

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所以f (n+1)≥f (n)+1，又f(1)＝2，所以f (n)≥n+1 由已知可得：f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1) 而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即：f(n+1)≤3 f (n)－2n－1

或者f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1) 所以有f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)

≤32

(f (n－1)－n)

≤33

(f (n－2)－n＋1) ……

≤3n(f (1)－2)＝0 于是f(n+1)≤n＋2 又f (n＋1)≥n+2

所以f(n+1)＝n＋2，又f(1)＝2 所以f(n)＝n＋1

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