2017-2018学年高中数学必修4学案(31份) 苏教版12(精美教案)

三角函数的应用

．会用三角函数解决一些简单的实际问题．(重点)

．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)

[小组合作型] 三角函数在物理学中的应用 已知电流＝(ω＋φ)＞，ω＞，φ＜在一个周期内的图象如图--.

图--

()根据图中数据求＝(ω＋φ)的解析式；

()如果在任意一段秒的时间内，电流＝(ω＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 【导学号：】

【精彩点拨】可先由图象确定电流的解析式，再由函数的性质确定ω的值． 【自主解答】()由图知，＝. ＝－＝， ∴＝，∴ω＝＝π. ＝(π＋φ)．

由为第一个关键点， ∴π·＋φ＝，∴φ＝，

∴所求解析式为＝，∈[，＋∞)． ()由题意≤，即≤， ∴ω≥π≈，

∴所求ω的最小正整数值是.

．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．

．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型＝(ω＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．

[再练一题]

．弹簧振子以点为平衡位置，在，间做简谐运动，，相距，某时刻振子处在点，经 振子首次达到点．求：

()振动的振幅、周期和频率；

()振子在 内通过的路程及这时位移的大小．

【解】 ()设振幅为，则＝()，＝()．设周期为，则＝()，＝()，＝()． ()振子在内通过的距离为4A， 故在＝ 内通过的路程为，即 ＝×4A＝20A＝×＝＝.

末物体处在点，所以它相对平衡位置的位移为.

三角函数在实际生活中的应用 如图--所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要分钟，其中心距离地面米，半径为米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：

()求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数关系式； ()当你第次距离地面米时，用了多长时间？

图--

【精彩点拨】→→ →.

【自主解答】()可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设＝－ ω，≥，由周期为分钟可知，当＝时，摩天轮第次到达最高点，即此函数第次取得最大值，所以ω＝π，即ω＝.所以＝－(≥)．

()设转第圈时，第分钟时距地面米，由＝－，得＝－，所以＝或＝，解得＝或.所以＝分钟时，第次距地面米，故第次距离地面米时，用了＋＝(分钟)．

解三角函数应用问题的基本步骤

[再练一题]

．如图--，某地一天从～时的温度变化曲线近似满足函数＝(ω＋φ)＋.

图--

()求这一天～时的最大温差；

()写出这段曲线的函数解析式．

【解】 ()由图可知：这段时间的最大温差是 ℃；

()从图可以看出：从～是＝(ω＋φ)＋的半个周期的图象，∴＝－＝，∴＝. ∵＝，∴ω＝.

又∵(\\\\(＝(－)＝，＝(＋)＝，))∴＝＋.

将点()代入得：＝－， ∴＋φ＝π＋，∈， ∴φ＝π＋，∈，取φ＝， ∴＝＋(≤≤)．

[探究共研型] 三角函数的数据拟合问题 ∴(\\\\(＝，＝.))

探究 在利用已收集到的数据解决实际问题时，我们首先要对数据如何处理？

【提示】先画样本数据散点图，通过分析其变化趋势确定合适的函数模型． 探究 当散点图具有什么特征时，可以用正(余)弦函数模型来解决实际问题．

【提示】当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正(余)弦函数模型来解决实际问题．

某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度

(米)随着时间(≤≤，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：

(时) (米) ()试在图中描出所给点； ()观察图，从＝＋，＝(ω＋φ)＋，＝(ω＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

()如果确定在一天内的时至时之间，当浪高不低于米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．