20130614第九届全国周培源大学生力学竞赛-力学竞赛个人赛题目解答

(1)（本小题 8 分）在道具滚动的过程中，每根圆杆交替地承受拉力和压力。当道具转动到如图 2-2 所示的位置上时，竖杆中承受了 大的压力，记其轴力为 FN?1 。显然这种情况下两斜杆的轴力相等，且为拉力，记其为 FN+2 。易得平衡方程 FN?1 + 2FN+2 cos60o = F ，

即 FN?1 +FN+2 =F。 (2-1)

记竖杆的压缩量为δ1，两斜杆的伸长量均为δ2，则有物理方程

δ1 =

FN?1L

， δ2 = EA

FN+2L

， (2-2a)

EA

式中， L = (D1 ? D2) = 2D2 = 25d ， (2-2b) A = πd2。 (2-2c) D 考虑协调方程，如图 2-3 所示，图中 R =2 缩量。由于竖杆与内芯铰结，因此变形后的内芯圆心应在以 P′为圆心，以 R 为半径的圆上。考虑竖 杆变形的所有可能位置和实际可能性，变形后的内芯圆心则应在图 2-3(a) 中一系列圆的上包络线 AB 上。再注意到小变形，则这个上包络线可用水平直线代替。其余两杆的变形的情况与竖杆类似。三杆变形的协调如图 2-3(b) 所示，加载前内芯圆心为O，加载后为O′ ，OO′ =δ1。（没有这段话不扣分）从该图可看出，尽管存在着内芯，但由于内芯是刚性的，协调条件与不存在内芯的情况相同，即

δ1 = 2δ2 。 (2-3)

A R P P ′ B R O A R δ1 O δ2 2 。图 2-3(a) 中只考虑了竖杆的情况。 PP′ 为竖杆压

。 FN?1 =

F 由

′ δ1 R B F P P ′ (a) (b) 图 2-2 图 2-3

由式 (2-1)、(2-2a)、(2-3) 即可得

⑤ (2-4) 于竖杆受压，故应考虑竖杆的柔度λ 以确定压杆的失效形式，注意

， FN+2 =

F

到式 (2-2b)，且取 μ=1，

- 9 -

可得

。 μL 4L ① (2-5a) λ= = =100 i Ed同时 λ p = π

ζ p 故竖杆为大柔度杆，应采用欧拉公式计算轴力的许用值，即

FN?1 = 2 F ≤ EI2π2 。 3 L n

由此可得满足稳定性要求的荷载许用值：

3π3 ?ζd 2 ? 3EIπ22

= 20π <λ， ①

[F?] =

= ? ?? p ? ≈ 0.4651ζn nn

p

d 2 。 ① (2-6)

2L

在这个结构中，

200?? 荷载只要满足稳定性要求，就一定满足强度要求。

(2)（本小题 8 分）将 xy 坐标系固结于道具的外环上，如图 2-4 所示。不妨设 t = 0 时结构的位置为图 2-5(a) 所示。在任一时刻 t ，记 ?=ωt ，则 F 在 x和 y 方向上的分量分别为

Fx = F sin?， Fy =Fcos?。 ① (2-7)

首先考虑 Fy 所引起的内芯圆心在 y 方向上的位移 δy 。如图 2-5(a) 所示，这是一个对称结构承受对称荷载的情况，根 据上小题的计算可知，

2FLcos?

2FyL =

y ? F x

δy =

3EA

。

3EA

① (2-8)

再考虑 Fx 所引起的内芯圆心在 x 方向上的位移 δx 。如图

2-5(b) 所示，这是一个对称结构承受反对称荷载的情况，故竖杆上的轴力为零。左斜

杆的轴力为拉力，右斜杆的轴力为压力，两斜杆轴力数值相等，记为 FN ，如图 2-6(a) 所示， 图 2-4

N

2FN cos30o = Fx ，故有

= 3 x 3 F F 。 ② (2-9)

y

- 10 -

x

F y F x

(a) (b) 图 2-5

3FxL 。由图 2-6(b) 可知（由于内芯不影响协调条件，故未画岀内芯），因

3EA

此两斜杆的变形量均为δ′ = δ′ 2FL。 = 由式 (2-8) 与式 (2-10) 可得， x2FLsin? 3EA ② (2-10) δx = o = EA cos30 3

， δx = Fx F N F N F x δ′ δ x δy 这说明，（没有这段 Fy 总位移δ的方向与 F 的方向重合。话不扣分 ）内芯圆心在竖直方向上的位移

(a)

图

(b)

2-6

2 δ = δx +δy= 2FL 2F 。 ① (2-11) = 3EA 6πζpd

由于该位移为定值而与?无关，故在滚动过程中，内芯圆心的位置不会产生波动。 ①

(3) （本小题 9 分） 为了提高第 (1) 小题得到的许用荷载，可以将三杆的长度做得比原设计长度 L 稍微短一点并强制安装，即应用预应力技术来提高结构的承载能力。设三杆都比 L 做短 δ0 ，这样，三杆的

EA

。 ②

FN0 = δ0

在

L

预加轴力 FN0 均为拉力，且有

(2-12)

存在着预加轴力的结构中再作用以外荷载 F ，其轴力为预加轴力和荷载引起

的轴力的叠加。在滚动过程中杆件承受的由荷载引起的 大拉力显然为 F ，在与预加轴力叠加之后，应

2

EAδ0 ζp A

该满足拉伸强度条件。对于理想弹塑性材料，屈服极限 ζs =ζp ，故有

- 11 -

，

F + L ≤ ② (2-13) n 承受 大压力时，根据稳定性要求，应有 EIπ2 ② (2-14)

当杆件3

2 。 要 大限满足，3 EAδ0 F ? ≤ 2 L L n 度地提高结构的许用荷载，应使式 (2-13) 和 (2-14) 都取等号并同时得到

而两式

中的 F 便成为这种情况下的荷载许用值 [F?]，由此可得

δ0 =

2

L ?

πEI2 ? d ? π2 ?

EAn ??ζp A? ?

L2 ??? = 32n??

3π ? π2 ??ζ d2 ? [F?] =

3?

n ??ζp A+ (2-16) 4 ?

= 16 ???1+ 25?????? pEIπ2

L2 ???? ≈ 0.8216ζ

n??? p

d

n2 。 ②

与第 (1) 小题所得到的许用荷载相比，引用式 (2-16) 和式 (2-6) 的结果可得

[F?]

25 ? π2 ?

[F?] = 2π2 ???1+ 25 ???≈1.767 。 (2-17)

这说明，经这样的预应力处理，许用荷载提高了 76.7％。 ①

若采取的措施是增大 D1，或减小 D2 ，其增大或减小的数值为式 (2-15) 的两倍，均算正确。若说 出预应力（或装配应力）可提高许用荷载的概念，但无具体运算，本小题可得 ①分。

第二种解法：

(1)（本小题 8 分）建立如图 2-4 所示的坐标系。不妨设 t = 0 时结构的位置为图 2-5(a) 所示。在任一时刻 t ，记 ?=ωt ，如图 2-7(a)（图中将 x 和 y 方向分别画为水平和竖直方向，并假定FN1

是 拉力，

FN2 和FN3 是压力），可列出平衡方程：

1

N F + 2 F

N11

2 FN3 = Fcos?， (2-18a)

+2 3 2

3 2

(b)

δ2 O δ3 S H P K δ1 G Q O FN3 ? FN

由图 2-7(b) 得到（图中仍未画岀内芯）。结点O 变形后位于 (a) F N1 O′ ，三杆的变形量分别为 δ1 = OG ， 图 2-7 FN 3 F N2 - 12 -

? F