一元二次方程应用讲义

个性化辅导讲义

一元二次方程的应用

学生： 丁訸恺 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师： 谭前富

课 题 教学目标 1、学会将实际问题转化为数学问题来解决 2、运用设未知数，列方程的方法解决有关实际问题 3、解决生活中的增长率、利润、面积及其他方面的问题 重点：列方程解应用题. 难点：会用含未知数的代数式恰当的表示增长率问题、利润、面积等； 重点、难点 教学内容 一、知识要点: 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题： （1）变化率问题； （2）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题； （3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题． 重要提示： 1、增长率问题：若原数为a，增长率为x，则连续增长n次后为a?1?x?. n2、利润问题： (1)毛利润=售出价-进货价 (2)纯利润=售出价-进货价-其他费用 (3)利润率=利润x100% 成本3、储蓄问题： （1）利息=本金X年（月）利率X年（月）数 （2）本息和=[1+年（月）利率X年（月）数]X本金（不计利息税） （3）利息税=利息X税率 二、列方程解应用题的基本步骤： ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）； ③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（根据等量关系列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义） 三、例题指导 1 杭州龙文教育科技有限公司

一、增长率问题 个性化辅导讲义 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)＝193.6， 即(1+x)＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答 需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 2 222222 杭州龙文教育科技有限公司

个性化辅导讲义 说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、面积计算 例4 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m） （1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由. 解 都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x＝222×18×15，即x－34x+180＝0， 3解这个方程，得x＝34?436，即x≈6.6. 22（2）设扇形半径为r，则3.14r＝22×18×15，即r≈57.32，所以r≈7.6. 3B说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等. 图2 www.czsx.com.cnQACP图4 www.czsx.com.cn五、动态几何问题 图3 例5 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 解 因为∠C＝90°，所以AB＝AC2?BC2＝62?82＝10（cm）. 2（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm. 则根据题意，得12·(6－x)·2x＝8.整理，得x－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4. 22所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm. 3

杭州龙文教育科技有限公司

个性化辅导讲义 （2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半. 则根据题意，得1112(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x－6x+12＝0. 222由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间. 六、梯子问题 例6 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？ （2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？ （3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？ 解 依题意，梯子的顶端距墙角102?62＝8（m）. （1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 则根据勾股定理，列方程7+(6+x)＝10，整理，得x+12x－15＝0， 解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去）， 所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m. （2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理，列方程(8－x)+(6+1)＝100.整理，得x－16x+13＝0. 解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）. 所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm. 则根据勾股定理，列方程 (8－x)+(6+x)＝10，整理，得2x－4x＝0， 解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2. 所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m. 说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形. 四、同步训练 （一）、与增长率有关的应用题 变化前数量×（1?x）＝变化后数量 n222222222224

杭州龙文教育科技有限公司