第二讲 导数应用（学生）

例19【2011新课标全国理】已知函数f(x)?的切线方程为x?2y?3?0. （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?

练习：1.设函数f(x)?(1?x)2?2ln(1?x). （1）求f(x)的单调区间；

1（2）若当x?[?1,e?1]时，不等式f(x)?m恒成立，求实数m的取值范围；

elnxk?，求k的取值范围。 x?1xalnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处x?1x（3）若关于x的方程f(x)?x2?x?a在区间【0,2】上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

2.设函数f(x)?ex?e?x．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．

例20已知函数f(x)??x3?ax2?4(a?R).

（1）若函数y?f(x)的图像在P(1,f(1))处的切线的倾斜角为

?，求a； 4（2）设f(x)的导函数是f'(x)，在（1）的条件下，若m,n?[?1,1]，求f(m)?f'(n)的最小值；

（3）若存在x0??0,???，使f(x0)?0，求a的取值范围.

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练习：设函数f(x)?1(x?0且x?1). xlnx（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）已知2?xa对任意的x?(0,1)成立，求实数a的取值范围.

1x

9利用导数证明不等式

x2x2?ln(1?x)?x?例21 求证下列不等式（1）x? x?(0,??) 22(1?x)

练习：【2010年安徽理】 设a为实数，函数f?x??ex?2x?2a,x?R。 (Ⅰ)求f?x?的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当a?ln2?1且x?0时，ex?x2?2ax?1

例22【2007年安徽理】设a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx(x?0) （1）令F(x)?xf'(x)，讨论F(x)在(0,??)上的单调性并求极值； （2）求证：当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1.

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