韩山师范学院2013年专升本插班生高等代数模拟试卷

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韩山师范学院2013年专升本插班生模拟试卷

数学与应用数学 专业 高等代数 考试 （A卷）

题号 得分

一、 选择题（每小题3分，共15分） 题号 答案

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷人 1 2 3 4 5 1、设f?x1,x2,?,xn?为n元实二次型，则f?x1,x2,?,xn?负定的充要条件为（ B ）

（A）负惯性指数=f的秩 （B）正惯性指数=0； （C）符号差=?n （D）f的秩=n。

2、设??1,?2,?,?m?是线性空间V的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ A ）

（A）任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有?ki?i?0

i?1m（B）任一组数k1,k2,?,km，有?ki?i?0；

i?1m（C）当k1?k2???km?0时，有?ki?i?0；

i?1m（D）任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有?ki?i?0。

i?1m3、设E1E2?Es A Es+1?Et =I,其中Ei为初等矩阵，i = 1,2,?, t , 则A-1等于( C ). （A）E1 E2 ?Et （B）Et?E2 E1

（C）Es+1 ?Et E1 ?Es （D）E t ?E s+1E1 ?Es .

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4、欧氏空间R3中的标准正交基是（A ）

1??11??1?11??11?（A）?,0,,0,??;??;?0,1,0? （B）?,,0?;??,?;?0,0,1?

2??22??22??22??2?111??111?（C）?,,?;?,?,?????;?0,0,0? （D）?1,?1,1?;??1,1,1?;?1,1,?1?

33??333??35. 在欧氏空间C[0, 2?]中，向量x2的长度等于 ( B )。

32582?4?210? （C）?3 （D）（A）? （B）53356? 二、判断题（每小题2分，共10分。你认为正确的，在题后圆括号内打“√”，错误的打“×”。）

1.实二次型f(x1,x2,?,xn)正定的充要条件是它的符号差为n。

（ × ）

2. n阶行列式D的元素aij的代数余子式Aij，当i与j的奇偶性相同时一定等

于余子式Mij．

( √ )

3.多项式x4?2x3?2x?3在有理数域上是不可约的. ( √ ) 4.零变换和单位变换都是数乘变换。 （ × ）

5 设f:A?B;g:B?C是双射，那么h=f?g也是双射。 （ √ ） 三、填空题（把答案填在题中横线上。每小题3分，共18分） 1. 最小的数域是 {0} 。

2. 多项式有重因式的充要条件是f(x)与其导数f′(x)不互素。

3. 复数域C作为实数域R上的向量空间, 维数是 2 。 4. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 正交 的。

0125. 行列式?103= 0 。 ?2?306. 数集A1={0}, A2={2,3}, A3={5n|n?Z}, A4={2n+1|n?Z},

A5={a+b

2| a,b?Q}中有 3 个数环 1 个数域。

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四、（8分）计算n阶行列式

a0

0

ba0

0...0b...0a...0

000

D=

..................000...abb

0

0...0

a

ab0...0ab... 解：D?a....000...0b0...000ab...00 ?(?1)n?1b......a00...ab ?a?an?1?(?1)n?1b?bn?1?an?(?1)n?1bn

?2a2???五、（8分）已知A??6b3?有特征值?1，问A能否对角化？说明理由。

??11?1????2a2???解：因为A??6b3?有特征值为?1?1,?2??1，所以有

??11?1????1?a0fA(1)?I?A??51?b?3??7(1?a)?0,所以a??1；

1?12?3?a?2fA(?1)??I?A??5?1?b?3?(3a?2b?3)?0,由a??1,得b??3； 1?10?2?12???所以A??6?33?，因为?1??2??3?a11?a22?a33，

??11?1???即：?1?1??3?2?(?3)?(?1),所以?3??2

六、（8分）设f : A→B, g : B→C是映射，又令h =g?f. 证明：如果 f、g 都

?1?1h?(g?f)?f是双射，那么 h 也是双射，并且

?1?g?1证明：教材第15页第6题。

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七、（8分）设向量组?1，?2，?，?s线性无关，又设

?1＝?1??1?s,?2＝?2??2?s,?,?s?1＝?s?1??s?1?s

证明：?1,?2,?,?s?1也线性无关。 证明：教材第228页第6题。

八、（8分）证明：

??1???i1???????2i2?与B???相似，其中i,i,???,i是1,2,???,nA??12n????????????n?in???的一个排列。

证：任意n维向量空间V，?V的基

?1,?2,???,?n，则?唯一??L?V?使

??1????2? （3分） ???1?2????n????1?2????n????????n??即???i????ii i?1,2,???,n

????i1???i1?i1

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???i2???i2?i2

???????

???in???in?in

??在基?i1,?i2,???,?in下的矩阵为B

九、（8分）求Q[x]的多项式f(x)=3x+5x+x+5x-2的有理根。.

4

3

2

解：教材第78页。

u12：?1，?2，?，?。 v33f(1)?12，f(?1)??8 。

经检验，可能的有理根为?2，?由综合除法知，有理根为?2和

1。 31。 3

十、（8分）设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵,其中n

B为n×m矩阵，所以B的秩小于等于n 所以BA秩小于等于n AB是m阶方阵

所以AB的秩小于阶，所以AB不可逆。