关于中点引发的六联想

遇到中点引发六联想

联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？相信你阅读下文后，能给你带来一定的启示。

1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质

例1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【 】(2008年安徽省) A．

691216 B． C． D．5555

分析：

由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；

由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。 解;

连接AM，

因为，AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边； 因为，点M为BC中点，

则根据等腰三角形的三线合一，得到AM⊥BC， 在直角三角形AMC中， AC=5，CM=所以，AM=

1BC=3, 2AC2?CM2?52?32=4，

11×BC×AM=×6×4=12, 22所以，三角形ABC的面积是：

所以，三角形ACM的面积是：6；

1×AC×MN， 212所以，MN=.

5所以，6=所以，选择C。

2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”

例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。

分析：

由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，

根据三角形中位线定理，知道FG∥BC FE∥AC，FE=由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=

1AC， 21AC， 2所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。 证明：

因为，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点， 所以，FG∥BC ， FE∥AC，FE=

1AC， 2所以，FG∥ED，

因为，FE∥AC，DG与AC是相交的， 所以，DG与EF也是相交的， 所以，四边形EFGD是梯形， 因为，AD是三角形的高，

所以，三角形ADC是直角三角形， 因为，DG是斜边上的中线， 因此，DG=

1AC， 2所以，DG=EF,

所以，梯形EFGD是等腰梯形。

3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”

例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。

已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

分析：

由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 我们就自然联想到三角形的中位线定理，

但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。 证明：

如图5所示，连接AC，

因为，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

所以，EF是三角形ABC的中位线，GH是三角形ADC的中位线， 所以， EF∥AC ，EF =

11AC， GH∥AC，GH=AC， 22因此，EF∥GH，EF=GH，

所以，四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形

例4、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE， 求证：S△ABE=

1S四边形ABCD。 2

分析：

如果直接证明，是不容易，联想到AD∥BC，点E是CD的中点，

我们延长AE，与BC 的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形， 并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。 证明：

如图7所示，延长AE，与BC 的延长线交于点F， 因为，AD∥BC，

所以，∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE， 因为，点E是CD的中点， 所以，DE=CE，

所以，△ADE≌△FCE， 所以，AE=EF，

所以，S△ABE= S△BEF，

因为，S△BEF= S△BEC+ S△ECF= S△BEC+ S△ADE， 所以，S△ABE= S△BEC+ S△ADE，

因为，S△ABE+ S△BEC+ S△ADE= S四边形ABCD， 所以，2 S△ABE= S四边形ABCD，

1S四边形ABCD。 25、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”

例5、如图8所示，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，若AB?8cm，OC?3cm，则

所以，S△ABE=

⊙O的半径为 cm．

分析：

由点C是AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC⊥AB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。 解：

因为，点C是AB 的中点， 所以，OC⊥AB， 因为，AB=8,

所以，AC=4,在直角三角形AOC中， AC=4,OC=3, 所以，OA=

AC2?OC2?32?42=5(cm)，

因此，圆的半径是5cm。

6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等

例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则

S四边形AGCDS矩形ABCD等于：A、

5432 B、 C、 D、 6543

分析：

如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。 解：

如图10所示，连接BG， 因为，E是线段AB的中点，

所以，S△AEG= S△BEG=x， S△BGF= S△GCF=y， 设AB=2a，BC=2b，

所以，矩形的面积是：2a×2b=4ab， 根据题意，得：

1×BC×BE=ab， 212x+y=×BA×BF=ab，

22 y +x=

所以，2x+y=2y+x，即x=y=所以，4x=

ab， 34ab1=矩形的面积， 332所以，S四边形AGCD=矩形的面积，

3所以，

S四边形AGCDS矩形ABCD等于

2， 3所以，选D。