河南省2019年中考数学总复习第三章函数数学文化拓展素材

反比例函数图象与三等分角

三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题,与化圆为方、倍立方体问题一起被称为古希腊三大几何问题,而如今数学上已证实了这个问题无解.该问题的完整叙述为:只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分.在尺规作图的前提下,此题无解.若将条件放宽,例如允许使用有刻度的直尺,或者配合其他曲线,可以将一给定角三等分.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法,如图:

1.建立平面直角坐标系,将已知锐角∠AOB的顶点与原点重合,角的一边OB与x轴正方向重合.

2.在平面直角坐标系里,绘制函数y=的图象,图象与已知角的另一边OA交于点P. 3.以点P为圆心、2OP的长为半径作弧,交函数y=的图象于点R. 4.分别过点P,R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M. 5.连接OM,得到∠MOB,这时,∠MOB=∠AOB.

阅读下列材料并完成相应任务:

三等分任意角问题是数学史上一个著名的问题,直到1837年,数学家才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的.在探索中,出现了不同的解决问题的方法.

方法一:如图(1),四边形ABCD是矩形,借助几何画板的度量功能,在DA的延长线上取一点F,并连接CF,在CF上取一点G,使∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,CF与AB交于点E,此时∠ECB=∠ACB.

方法二:图(2)是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法:将给定的锐角∠AOB置于平面直角坐标系中,边OB在x轴上,边OA与函数y=的图象交于点P,以点P为圆心,2OP的长为半径作弧,交图象于点R,过点P作x轴的平行线,过点R作y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,过点P作PH⊥x轴于点H,过点R作RQ⊥PH于点Q,则∠MOB=∠AOB.

(1)在“方法一”中,若∠ACF=40°,GF=4,求BC的长; (2)完成“方法二”的证明.

图(1) 图(2)

参考答案

反比例函数图象与三等分角

(1)∵∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F, ∴AC=AG=GF=4.

∵∠ACF=40°,∠ECB=∠ACB, ∴∠ACB=60°,

∴BC=AC·cos∠ACB=4×=2.

(2)证明:设P(a,),R(b,),则M(b,),Q(a,), 设直线OM的解析式为y=kx,则k=, ∴直线OM的解析式为y=x.

∵点Q的坐标是(a,),满足直线OM的解析式,

∴点Q在直线OM上.

由题易知四边形PMRQ是矩形,连接RP,交QM于点S,如图,

则PS=MS. 又∵PR=2OP, ∴OP= PS=MS,

∴∠POS=∠PSO,∠MPS=∠PMS. 又∵∠PSO是△PSM的外角, ∴∠PSO=2∠PMS. ∵PM∥x轴, ∴∠PMO=∠MOB, ∴∠POS=2∠MOB, ∴∠MOB=∠AOB.