（完整版）第二十六讲面积问题评说（含答案）

第二十六讲 面积问题评说

平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．

计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．

2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于

求解的问题．

3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等

的等积转化．

4．等比法：将面积比转化为对应线段的比． 熟悉以下基本图形中常见的面积关系：

注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．

等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比． 例题求解

【例1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为

13，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1?S2= ． 2(2000年山东省竞赛题)

思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S△AOD=S

△BOC

=S1S2，S

梯形

ABCD=S1+S2+2S1S2=(S1?S2)2(读者证明)，于是将问题转化为求梯

形ABCD的面积．

【例2】 如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的面积等于( )

A．12 B．14 C．16 D．18(全国初中数学联赛试题)

- 1 -

思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．

【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：S矩形ABCD=S△APQ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．

【例4】 如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC =

S?DAC?S?DBC·

2 (1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?请说明理由；

(2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?试证明你的结论． (2001年安徽省中考题)

思路点拨 对于(1)，因△DMC、△DAC、△DBC同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M为AB中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式寻找它们的关系．

注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证． 通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．

【例5】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F． 求证：（1）

PDPEPFPAPBPC（2）???1；???2．

ADBECFADBECF- 2 -

思路点拨 过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．

注 有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法． 用面积法解题的基本步骤是：

(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式． (2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．

当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．

学历训练

1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株． (第14届“希望杯”邀请赛试题)

2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 ． (2003年上海市中考题)

（第1题） （第2题） （第3题）

SBD33．如图，在△ABC中，∠B=∠CAD，?，则?ABD= ．

S?CADAC2(2000年重庆市竞赛题)

4．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD=b(a

2a，则= ． 9b5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD的面积为( )

A．42 B．43 C．4 D ．6 (2001年湖北省荆州市中考题) 6．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则厶BPD的面积为( )

- 3 -

A．

13?123?11 B． C． D． (2001年武汉市选拔赛题) 4488

（第4题） （第5题） （第6题）

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为( )

A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定，与

(2002年山东省竞赛题)

AC的大小有关 AB

（第7题） （第8题）

8．有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)

9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案． (2000年山东省竞赛题)

10．如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，求蝶形(阴影部分)的面积．

- 4 -