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2 展开与折叠

1．棱柱的表面展开图

棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的．沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图．如图是棱柱的一种展开图．

棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)．

【例1】 如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形．

解析：

(1) 三棱柱 两个底面是三角形 (2) 六棱柱 两个底面是六边形 (3) 长方体 两个底面是长方形 (4) 三棱柱 两个底面是三角形 答案：三棱柱 六棱柱 长方体 三棱柱 2．圆柱、圆锥的表面展开图 (1)圆柱的表面展开图

沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图．圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形(侧面)，如图所示．

如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成圆柱．

(2)圆锥的表面展开图

如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)．

【例2】 如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？

分析：主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断． 解：圆锥、圆柱、五棱柱．

3．平面图形的折叠

平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形，与立体图形展开成平面图形是一个互逆过程．我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．

根据平面展开图判断立体图形的方法： (1)能够折叠成棱柱的特征：

①棱柱的底面边数＝侧面的个数．

②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧．

(2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形． (3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形． (4)能够折叠成正方体的特征： ①6个面都是完全相同的正方形．

②正方体展开图连在一起的(指在同一条直线上的)正方形最多只能为4个． ③以其中1个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠． 4．正方体展开图上的数字问题

正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法，确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解．

正方体的平面展开图共有11种，可分为四类： (1)1－4－1型

相对面的确定：①第一行与第三行的正方形是相对面；②中间一行的4个正方形中，相隔一个是相对面．

(2)1－3－2型

相对面的确定：①第一行的正方形与第三行的左边第1个正方形是相对面；②中间一行第1个与第3个为相对面；第2个与第三行第2个为相对面．

(3)2－2－2型

相对面的确定：①第一行的第1个与第二行的第2个是相对面；②第二行第1个与第三行的第2个是相对面；③第三行的第1个与第一行的第2个为相对面．

(4)3－3型

相对面的确定：①第一行的第1个与第3个为相对面；②第二行的第1个与第3个为相

对面；③第一行的第2个与第二行的第2个为相对面． 【例3－1】 如图所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？

分析：(1)底面是四边形，侧面有3个，显然与三棱柱、四棱柱的特征不符；(3)的两个底面在侧面同侧，折叠后也不能围成棱柱；(2)(4)折叠后可以围成棱柱．

解：(2)(4)可以． 【例3－2】 生活中我们经常可以见到各种各样的包装盒，你能用线将图中的实物和它的平面展开图连接起来吗？

分析：根据能折叠成不同几何体的特征去判断即可． 解：如图所示．

【例4－1】 如图所示，假定用A，B表示正方体相邻的两个面，用字母C表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母．

分析：先判断属于哪种类型，再确定相对面．前三种的相对面都是隔一个即可；第四种的A与上面第一行中的第2个是相对面．

解：如图所示．

【例4－2】 要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x＝__________，y＝__________.

解析：这里关键是要找到相对的面，折叠之后可知，x与1相对，所以x＝5，y与3相对，所以y＝3.

答案：5 3

【例4－3】 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )．

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解析：这个正方体的平面展开图属于1－4－1型的，根据规律可知，第一行的与第三行的为相对面，中间一行的第1个与第3个、第2个与第4个为相对面，故应选A.

答案：A

5．表面展开图的应用 正方体与图案

正方体前面、上面、右面有不同的图案，按不同的类型展开后，其图案也会发生相应的变化．根据展开图判断是否与模型对应的方法：

(1)三个面上的不同图案不会对立，所以可排除三种图案对立的情况；

(2)位置判断：相邻三个面的图案位置是否一致．当前面和上面的图案确定位置后，另一个图案是在左面还是右面，图案放置的角度是否正确． 【例5】 图中给出的是哪个正方体的展开图？( )．

解析：显然带有黑色的面是相对的面，所以A，B错误．又因为两个黑色小正方形应该是相对的，所以选D.

答案：D