2019年四川省高考理科数学试卷及答案解析【word版】

（1）设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值； （2）若f(1)?0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围 解：（1）因为f(x)?e?ax?bx?1 所以g(x)?f?(x)?e?2ax?b 又

x2xg?(x)?ex?2a

因为x?[0,1]，1?ex?e 所以： ①若a?1x，则2a?1，g?(x)?e?2a?0， 2所以函数g(x)在区间[0,1]上单增，gmin(x)?g(0)?1?b ②若

1e?a?，则1?2a?e， 22x于是当0?x?ln(2a)时g?(x)?e?2a?0，当ln(2a)?x?1时

g?(x)?ex?2a?0，

所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单减，在区间[ln(2a),1]上单增，

gmin(x)?g[ln(2a)]?2a?2aln(2a)?b

③若a?ex，则2a?e，g?(x)?e?2a?0 2所以函数g(x)在区间[0,1]上单减，gmin(x)?g(1)?e?2a?b 综上：g(x)在区间[0,1]上的最小值为

1?1?b,a?,?2?1e?gmin(x)??2a?2aln(2a)?b,?a?,22?e?e?2a?b,a?,?2?

（2）由f(1)?0?e?a?b?1?0?b?e?a?1，又f(0)?0

若函数f(x)在区间(0,1)内有零点，则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间 由（1）知当a?1e或a?时，函数g(x)即f?(x)在区间[0,1]上单调，不可能满足22“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。

若

1e?a?，则gmin(x)?2a?2aln(2a)?b?3a?2aln(2a)?e?1 223x?xlnx?e?1（1?x?e） 211?lnx。由h?(x)??lnx?0?x?e 22令h(x)?则h?(x)?所以h(x)在区间(1,e)上单增，在区间(e,e)上单减

hmax(x)?h(e)?3e?elne?e?1?e?e?1?0即gmin(x)?0恒成立 2于是，函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间

?g(0)?2?e?a?0?a?e?2 ????g(1)??a?1?0a?1??1e又?a? 所以e?2?a?1 22综上，a的取值范围为(e?2,1)