概率论与数理统计习题及答案1-7章 - - 复旦大学版

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） p1??Ck?0k103k10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

(2) p2?36.

?Ck?410(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

24C69（1） P(A)?，也可由6重贝努里模型：

10621294P(A)?C6()()

1010（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P10P(B)?6

10（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故

2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10

4131121（4） D=B.故

6P10P(D)?1?P(B)?1?6

1037. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p1?1 n?19

(2) p2?(3) p1??3!(n?3)!,n?3

(n?1)!(n?1)!1?3!(n?2)!?;p2?,n?3 n!nn!

38.[0，a]

【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由

0

?x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ???y?(a?x?y)?x构成的图形，即

a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a?2?如图阴影部分所示，故所求概率为p?1. 439. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与k无关.

Pnk??111【证】 p?k?,k?1,2,n ,Pnn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）. 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.

10001000P(A0)?41.对任意的随机事件A，B，C

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A). 【证】 P(A)?P[A(BC)]?P(ABAC)

?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

10

?P(AB)?P(AC)?P(BC) 42.

3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

C33!3P(A1)?43?

48而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

C114P(A3)?3?

416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?319?? 8161621C194C3C3?或 P(A2)? 4316 43.2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]

2244.n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）

=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

n112P(A)?[1?Cn()n]

2245.n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

=（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反） （甲正>乙正）

11

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=46.

1 2Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）

≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则

(n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)knP(Ai1Ai2Ain?1)?(1?n?1k)n

其中i1,i2,…,in?1是1，2，…，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?122S2??P(AiAj)?Cn(1?)kn1?i?j?nnSn?1?Sn?01?i1?i2?in?1?n?P(Ai1Ai2?1Ain?1)?Cnn(1?n?1k)n

P(Ai)?S1?S2?S3?i?1n?(?1)n?1Sn 12