【推荐】2013-2019高考理科数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-4 曲线与方程

第4节 曲线与方程

题型123 求动点的轨迹方程

1.（2013辽宁理20）如图，抛物线C1:x2?4y，C2:x2??2py?p>0?.点M?x0，y0?在抛

，B（M为原点O时，A，B重合于O）.当物线C2上，过M作C1的切线，切点为A1x0?1?2时，切线MA的斜率为?.

2（1）求P的值；

，B（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A重合于O时，中点为O）.

2.（2014 湖北理 21）（满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F?1,0?的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C. （1）求轨迹为C的方程；

（2）设斜率为k的直线l过定点P??2,1?.求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围.

x2y23.（2014 广东理 20） （14分）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的一个焦点为

ab离心率为?5,0，

?5， 3（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P?x0,y0?为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

4.（2016四川理15）在平面直角坐标系中，当

P(x,y)不是原点时，定义P的“伴随点”为

?y?x?，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： P?2,222??x?yx?y?①若点

A的“伴随点”是点A?，则点A?的“伴随点”是点A.

②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.

③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于

y轴对称.

④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 4.②③ 解析 对于①，若令

A(1,1),则其伴随点为A??,??，而A??,??的伴随点为

2222???1?1??1?1??1?，而不是P，故错误； ??1，对于②，令单位圆上点的坐标为圆上，故②正确； 对于③，设曲线

P(cosx,sinx)，其伴随点为P?(sinx,?cosx)仍在单位

f(x,y)?0关于x轴对称，则f(x,?y)?0对曲线f(x,y)?0表示同一曲

?y?x?,?0与2222?x?yx?y????y?x?f?2,?0也表示同一222?x?yx?y??线，其伴随曲线分别为f?曲线，又因为其伴随曲线分别为

?y?x?f?2,?0与222??x?yx?y?对于④，直线

??y?x?f?2,?0的图像关于y轴对称，所以③正确；222??x?yx?y??y?x?消参后轨迹是圆，故④,2222?x?yx?y??y?kx?b上取点得，其伴随点?错误.所以正确的序号为②③.

5.（2016全国乙理20（1））设圆x?y?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B?1,0?且

22与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （1）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程.

5.解析 (1)如图所示，圆A的圆心为A??1,0?，半径R?4，

yEAOBD

xC因为BE//AC，所以?C??EBD.又因为AC?AD，所以?C??EDB，

于是?EBD??EDB ，所以EB?ED.故AE?EB?AE?ED?AD?4为定值.

又AB?2，点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，

22xy由c?1，a?2，得b2?3.故点E的轨迹C1的方程为??1?y?0?.

436.（2016全国丙卷20）已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

6.解析 (1)连接RF，PF，由AP?AF，BQ?BF及AP//BQ，得

?AFP??BFQ??PFQ，所以?PFQ?90.因为R是PQ中点，RF?RP?RQ，所

以△PAR?△FAR，所以?PAR??FAR， ?PRA??FRA，又

?BQF??BFQ?180??QBF??PAF?2?PAR，

所以?FQB??PAR，所以?PRA??PQF（等角的余角相等），所以AR//FQ. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，F(,0)，准线为x??12111，S△PQF?PQ?y1?y2，设222S△ABF?直线AB与x轴交点为N，

得xN?1，即N(1,0)． 设AB中点为M(x,y)，

1FNy1?y2，因为S?PQF?2S?ABF，所以2FN?1，2yA2??y1?2x1y?y212由?2，得y12?y2. ?2(x1?x2)，即1?y?yx?x?1212?y2?2x2PROQBF2x又

y1y1?y2y?，即y?，所以

x?1yx1?x2x?12?x?1．

易知当直线AB不存在时，点M也满足此方程， 所以AB中点轨迹方程为y?x?1.

2x27.（2017全国2卷理科20（1））设O为坐标原点，动点M在椭圆C:过M?y2?1上，

2作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP?（1）求点P的轨迹方程；

?y?0)，NP?(0，y)，又NM?1NP??0，?， 7．解析 （1）设点P(x，y)，易知N(x，22??2NM.

?1所以点M?x，2?2??y?y?.又M在椭圆C上，所以x???1，即x2?y2?2． ?2?2??22019年

8.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x是其中之一（如图）。给出下列三个结论：

① 曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2; ③ 曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是

（A）① （B）② （C）①② （D）①②③

8. 由x2?y2?1?xy可得y2?xy?1?x2.

?x?33x2配方得?y???1??0，解得x2?.

?42?4??22+y2=1+xy就

所以x可取的整数值为-1，0，1，

则曲线经过??1,0?,??1,?1?,?0,1?,?0,?1?,?1,0?,?1,1?,这6个整点，结论①正确；

x2?y2当＞0时，由x?y?1?xy得x?y?1?xy?（当=y时取等号）， 22222所以x2?y2?2，所以x2?y2?2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，结论②正确； 根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超