课堂新坐标2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3学案：1.2.2.1 组合与组合数公式 Word版含解析

【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明． 【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，

n?n＋1??n＋2?…?n＋100?故

100！n?n＋1??n＋2?…?n＋100?＝101·

101！＝101C101n＋100. 【答案】 D (2)由组合数定义知： ?0≤5－n≤n，? 0≤9－n≤n＋1，?

所以4≤n≤5，又因为n∈N*， 所以n＝4或5.

－n9－n15当n＝4时，C5n＋Cn＋1＝C4＋C5＝5； －n9－n04当n＝5时，C5n＋Cn＋1＝C5＋C6＝16.

关于组合数计算公式的选取

1．涉及具体数字的可以直接用公式算．

2．涉及字母的可以用阶乘式

Cmn＝

n！

计算．

m！?n－m?！

m

n?n－1??n－2?…?n－m＋1?mAn

Cn＝Am＝计m！m

n－m

3．计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn简化运算．

[再练一题]

3

C5n－1＋Cn－319

2．求等式＝5中的n值．

C3n－3

C519143n－1

【解】 原方程可变形为3＋1＝5，C5n－1＝Cn－3， 5Cn－3

即

?n－1??n－2??n－3??n－4??n－5?

5！

14?n－3??n－4??n－5?＝5·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n

3！＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．

[探究共研型]

组合的性质

探究1 试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？

【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共

35×4×3C5＝＝10(种)选法．

3×2×1

5×4法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C2＝5

2＝10(种)不同选法．

2mn－m

经求解发现C35＝C5.推广到一般结论有Cn＝Cn.

探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？

【提示】 共有C610＝

10×9×8×7×6×5

＝210(种)选法．

6×5×4×3×2×1

探究3 在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？

6

【提示】 若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C9

＝84(种)选法．

由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，

56由分类加法计数原理可得：C610＝C9＋C9.

mm－1

一般地：Cmn＋1＝Cn＋Cn.

333

(1)计算C34＋C5＋C6＋…＋C2 016的值为( ) 5

A．C42 017 B．C2 017 4C．C2 017－1

D．C52 017－1

－72

(2)解方程3Cxx－3＝5Ax－4；

46(3)解不等式Cn＞Cn.

【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．

3333【自主解答】 (1)C4＋C5＋C6＋…＋C2 016 3334＝C44＋C4＋C5＋…＋C2 016－C4 33＝C45＋C5＋…＋C2 016－1＝… 34＝C42 016＋C2 016－1＝C2 017－1.

【答案】 C

(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 ?x－3?！?x－4?！3·＝5·， ?x－7?！4！?x－6?！则

3?x－3?5

＝，即为(x－3)(x－6)＝40. 4！x－6

∴x2－9x－22＝0， 解得x＝11或x＝－2.

经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x＝11.

46(3)由Cn＞Cn，得

！n！?4！?n＞，n－4?！6！?n－6?！??n≥6

2

?n－9n－10＜0，?? ?n≥6，

?－1＜n＜10，??又n∈N*， ?n≥6.∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．

n－m

1．性质“Cmn＝Cn”的意义及作用

2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及

**

组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N，n∈N，且n≥m确定m，n

的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．

[再练一题]

98

3．(1)化简：Cm－C9m＋1＋Cm＝________； 778(2)已知Cn＋1－Cn＝Cn，求n的值．

8999【解析】 (1)原式＝(C9m＋Cm)－Cm＋1＝Cm＋1－Cm＋1＝0.

【答案】 0

778(2)根据题意，Cn＋1－Cn＝Cn， 87变形可得C7n＋1＝Cn＋Cn，

由组合数的性质，可得

8C7n＋1＝Cn＋1，故8＋7＝n＋1，

解得n＝14.

[构建·体系]