1.2.3.(2)ex

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1.2.3直线与平面的位置关系(2)

从容说课

直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，教学时可以引导学生观察、探索圆锥的轴与底面的关系，进而组织学生探索圆锥的轴与底面任一直径的关系，并通过组织学生观察正方体、长方体等几何模型以及教室的门轴所在直线与底面上每一条直线的关系，引出直线与平面垂直的概念.

在讲解直线与平面垂直的定义时，应该强调:“一条直线垂直于一个平面是指这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，而不是无数条直线.” 教材通过生活中的实例，直观感知并操作确认“直线和平面垂直的判定定理”.教学时必须让学生初步理解:折痕之所以垂直于桌面，是因为折痕与紧靠桌面的矩形一边所成的相交直线垂直;旗杆垂直于地面(水平面)，是因为旗杆垂直于两条相交的水平线.

对于直线和平面垂直的判定定理和性质定理的教学要引导学生根据定理的文字语言，作出图形，再用符号语言表示出来.同时，应组织学生讨论、探究、明确判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师可以结合实例说明这两个条件缺一不可.

在证明直线和平面垂直的性质定理时用到了反证法，学生在理解上会有一定的困难，教学时可以组织学生讨论分析、采用直接证法所遇到的困难，引出用反证法证明该题的必要性，进而复习反证法证题的基本步骤，这样处理有助于学生更好地理解.对于两个定理的简单应用，教学时应组织学生讨论并归纳出使用这两个定理解决有关问题的关键是:创设定理成立的条件.

教学重点1.掌握直线和平面垂直的定义、判定定理和性质定理.

2.在应用直线和平面垂直的判定定理和性质定理时创设定理成立的条件. 教学难点1.直线与平面垂直的定义的理解. 2.直线和平面垂直的判定定理的证明.

3.直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用.

教具准备多媒体课件、投影仪、圆锥、长方体模型以及打印好的作业. 课时安排1课时 三维目标

一、知识与技能

1.理解直线和平面垂直的定义及相关概念.

2.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理并能进行初步应用. 二、过程与方法

1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人. 2.通过直观感知并操作确认直线和平面垂直的判定定理，培养学生理性思维能力、观察能力以及空间想象能力.

3.通过对直线和平面垂直的判定定理和性质定理的初步应用，向学生渗透转化思想的应用.

三、情感态度与价值观

1.通过学习直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，使学生明确数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.

2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深学生直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理的理解，增强学生数学交流能力和数学地分析问题、解决问题的能力.

3.通过结合生活实例来直观感知直线和平面垂直的判定定理，使学生认识到数学来源于

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生活，并应用于生活，激发学生学习数学的热情. 教学过程 导入新课

师空间两条直线有哪几种位置关系? (生口答，师简单板书)

师经过一点有几条直线和已知直线垂直? (生交流答案，师板书)

师空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系?

(生答:直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行.师简单板书) 师上节课我们已经学习了直线和平面平行的判定定理和性质定理，你还记得这些知识吗? (生交流答案)

师我们知道，空间两条直线有一种特殊的位置关系——两直线垂直.那么，空间一条直线和一个平面之间是否也存在垂直关系呢?你能从你面前的长方体模型中找出这样的实例吗? (生思考)

师我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考查直线和直线平行的关系.今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题能否通过研究两条直线垂直的关系入手呢?

(引入新课，板书课题:直线和平面垂直) 推进新课

(一)直观感知，探究直线和平面垂直的判定定理

师请拿出你的课本，把它直立在桌面上，如果把书脊想象成一条直线，把桌面想象成一个平面，那么书脊所在直线和桌面是怎样的位置关系呢? (生讨论交流，引出直线和平面垂直)

师能否从线线垂直的关系方面来解释直线和平面垂直呢?

(生讨论交流，师引导学生研究:书脊所在直线、各书页与桌面的交线的关系，引出直线和平面垂直的概念)

师由于书脊和各书页底边(即与桌面接触的一边)垂直，可知书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象.从而就有如下概念. (师板书概念)

1.直线和平面垂直的定义和记法

如果一条直线a与平面α内的任何一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.

我们前面所说的正投影就是投射线垂直于投影面的投影.

师你能从刚才的实例中抽象出直线和平面垂直的图形表示吗?

(生动手画图，并借助实物展示平台交流自己的画法，得出如下结论) 直线和平面垂直可以用图形语言表示如右图.

师在如右图所示的圆锥中，为什么轴SO垂直于底面内的所有半径，就有SO垂直于底面内的所有直线？

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(生讨论交流，结合直线和平面垂直的定义加以解释)

师过空间一点和已知平面垂直的直线有几条?过空间一点和已知直线垂直的平面有几个? (生结合几何模型直观感知，得出如下结论)

过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 师在平面几何中，我们可以过直线外一点作直线的垂线来求解点到直线的距离，那么在空间中如何定义平面外一点到平面的距离呢? (生思考，引出点到平面的距离的定义) 2.点到平面的距离的定义

过平面外一点A向平面α引垂线，则点A和垂足B之间的距离叫做点A到平面α的距离.

师若a∥b,a⊥c,那么直线b⊥c吗? (生讨论交流，得出结论)

师如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线和这个平面的位置关系是怎样的呢? (生思考) 【例1】 求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

师请根据上题的文字语言写出该题的已知、求证，并画出相应的图形. (生完成)

已知:a∥b,a⊥α. 求证:b⊥α.

师你觉得如何证明线面垂直呢? (生思考)

师你对直线和平面垂直的知识掌握了多少? 生直线和平面垂直的定义.

师怎样根据定义来证明直线和平面垂直呢? (生讨论交流，得出如下结论)

方法引导:要证明b⊥α，只要证明b和平面α内的任意一条直线都垂直. (生板演，完成证明)

师要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的.让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法.

(多媒体播放木工师傅判断一根立柱和板面垂直的画面及方法，组织学生观察) 师你能说出木工师傅是怎样判断一根立柱和板面垂直的方法吗? (生交流自己的观点，师总结)

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师从刚才的画面上我们可以看到木工师傅用曲尺检查两次(只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上)，如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直.从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗?

(引导学生进行猜想推测，抽象出直线和平面垂直的判定定理) 3.直线和平面垂直的判定定理

如果一条线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就垂直于这个平面. 师你能在你周围的几何体中找出实例，验证上面定理的正确性吗？ (生讨论完成)

师你能分别用符号语言、图形语言来表示判定定理吗? (生交流完成)

如右图所示，直线和平面垂直的判定定理可以用符号语言表示为:

m??,n??,m?A???a??，即由“线线垂直”推出“线面垂直”.

??m,??n?合作探究:判断下面说法是否正确:

(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面; (2)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面; (3)如果一条直线垂直于一个平面内的所有直线，那么这条直线垂直于这个平面.

(生讨论，强化学生对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解，通过讨论强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，以及定义中的“任意一条直线”等价于“所有条直线”)

也可举下面两个反例，加深学生的理解.

(1)将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线(即三角板与桌面的交线AC)垂直，但它不一定和讲台桌面垂直. (2)在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直.

合作探究:尝试用直线和平面垂直的判定定理证明例1. (生完成，师生共同归纳证明空间直线和平面垂直的方法) 师直线和平面垂直的判定方法：

(1)定义法:如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直.

(2)判定定理:要证明一条已知直线和一个平面垂直，只需证明这条直线和这个平面内的两条相交直线垂直，至于两条相交直线是否与已知直线有公共点，这是无关紧要的. (3)根据例1的结论若a∥b，a⊥α，则b⊥α.

(4)这里的“任意一条直线”不等价于“无数条直线”.不能说成“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线就垂直于这个平面.” (二)探究直线和平面垂直的性质定理以及证明 师我们知道，命题若a∥b，a⊥α，则b⊥α是真命题，那么命题“a⊥α，b⊥α，则a∥b”是否也是真命题呢?

(生交流各自的观点，抽象出如下结论)

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