正态分布相关 - 图文

峰态是否陡缓适度,也就是看Kurtosis（峰态）是否过分peaked（陡峭）或过分flat（平坦）。如果Kurtosis为0，则说明该变量分布的峰态正合适，不胖也不瘦（但罕见）；如果Kurtosis为正值，则说明该变量的分布峰态太陡峭（瘦高个，见图2b）；反之，如果Kurtosis为负值，该变量的分布峰态太平缓（矮胖子，见图2a）。峰态是否适度，更难直观看出，也需要通过显著检验。如同Skewness一样，Kurtosis的绝对值如果大于其标准误差的1.96倍，就被认为与正态分布有显著差别。这时，我们也许可以通过转换来达到或接近正态分布（峰态）。\第三步、如果需要做转化图，还是根据变量的分布形状，确定相应的转换公式。最常见的情况是正偏态加上陡峰态。如果是中度偏态（如Skewness为其标准误差的2-3倍），可以考虑取根号值来转换，以下是SPSS的指令（其中\是原始变量x的转换值，参见注2）： 如果高度偏态（如Skewness为其标准误差的3倍以上），则可以取对数，其中又可分为自然对数和以10为基数的对数。如以下是转换自然对数的指令（注2）：

以下是转换成以10为基数的对数（其纠偏力度最强，有时会矫枉过正，将正偏态转换成负偏态，注2）：

另外，在计量经济学中广泛使用Box-Cox转换方法，有些时间序列分析的专用软件中提供转换程序，但SPSS并不提供。虽也可以写syntax来做，但很复杂，在此不谈了。

上述公式只能减轻或消除变量的正偏态(positive skewed)，但如果不分青红皂白（即不仔细操作第一和第二步）地用于负偏态（negative skewed）的变量，则会使负偏态变得更加严重。如果第一步显示了负偏态的分布，则需要先对原始变量做reflection（反向转换），即将所有的值反过来，如将最大值变成最小值、最小值变成最大值、等等。如果一个变量的取值不多（如7-分量表），可用如下指令来反转：

如果变量的取值很多或有小数、分数，上述方法几乎不可能，则需要写如下的指令（不知大家现在是否信服了为什么要学syntax吗？）：其中max是x的最大值。

第四步、回到第一步，再次检验转换后变量的分布形状。如果没有解决问题，或者甚至恶化（如上述的从正偏态转成负偏态），需要再从第二或第三步重新做起，然后再回到第一步的检验，等等，直至达到比较令人满意的结果（见注3）。

1.如同其它统计检验量一样，Skewness和Kurtosis的的标准误差也与样本量直接有关。具体说来，Skewness的标准误差约等于6除以n后的开方，而Kurtosis的标准误差约等于24除以n后的开方，其中n均为样本量。由此可见，样本量越大，标准误差越小，因此同样大小的Skewness和Kurtosis在大样本中越可能与正态分布有显著差别。这也许就是SW在问题中提到的“很多学科都在讲大样本不用太考虑正态分布问题”的由来。我的看法是，如果小样本的Skewness和Kurtosis是显著的话，一定要转换；在大样本的条件下，如果Skewness和Kurtosis是轻度偏差，也许不需要转换，但如果严重偏差，也是要转换。

2.大家知道，根号里的x不能为负数，对数或倒数里的x不能为非正数（即等于或小于0）。如果你的x中有是负数或非正数，需要将其做线性转换成非负数（即等于或大于0）或正数（大于0），如 COMPUTE nx = SQRT (x - min) 或 COMPUTE nx = LN (x - min + 1)，其中的min是x的最小值（为一个非正数）。

不是任何分布形态的变量都可以转换的。例外之一是“双峰”或“多峰”分布（distribution with dual or multiple modality），没有任何公式可以将之转换成单峰的正态分布。

SPSS描述性分析

描述性分析过程主要用于对连续变量做描述性分析，可以输入多种类型的统计量，也可以将原始数据转换成标准Z分值饼存入当前数据集。 基本统计量的计算与描述性分析简介

描述性分析主要是针对数据进行基础性描述，主要用于描述变量的基本特征。SPSS中的描述性分析过程可以生成相关的描述性统计量，如：均值、方差、标准差、全距、峰度和偏度，同时描述性分析过程还将原始数据转换为Z分值并作为变量储存，通过这些描述性统计量，我们可以对变量的综合特征进行全面的了解。 表示集中趋势的统计量 （1）均值

均值分析可以分为算数平均数、调和平均数以及集合平均数三种。

算数平均数 算术平均数是集中趋势最常用、最重要的测度值。他是将总体标志总量处理总体单位总量而得到的均值。算是平均数的基本公式是： 算数平均数=总体标志总量/总体单位总量

根据掌握资料的表现形式不同，算数平均数有简单算数平均数和加权算数平均数两种。 简单算数平均数是将总体个大内每一个标志值加总得到的标志总量初一单位总量而求出平均指标。其计算方法可以如公式：

简单算数平均数适用于总体单位数较少的未分组资料。如果所给的资料是已经分组的次数分布数列，则算数平均数的计算应采用加权算数平均数的形式。

加权算数平均数是首先用各分组的标志值乘以相应的各组单位数求出各组的标志总量，并加总求得总体标志总量，而后再将总体标志总量和总体单位总量对比，其计算过程公式如下：

其中f表示各组的单位数，或者是频数和权数。

调和平均数 调和平均数又称倒数平均数，他是根据各变量值得导致来计算的平均数。具体

讲，调和平均数是各变量值倒数的算数平均数的倒数。调和平均数的计算方法，根据资料的不同也有简单和加权形式。

几何平均数 几何平均数是与算数平均数和调和平均数不同的另一种平均指标，它是几何级的平均数。几何平均数是计算平均比率或平均发展速度的最常用统计量，几何平均数可以反映现象综艺一般水平。根据掌握资料不同，几何平均数也有简单和加权形式。 （2）中位数

中位数是将总体单位某一变量的各个变量值按大小顺序排列，处在数列中间位置的那个变量值就是中位数。

在资料未分组时，将各变量值按大小顺序排列后，首先确定中位数的位置，可用公式(n+1)/2确定，n代表总体单位的项数；然后根据中点位置确定中位数。有两种情况：当n为奇数项时，则中位数就是属于中间位置的那个变量值；当n为偶数项时，则中位数是位于中间位置的两个变量值的算数平均值。 （3）众数

众数是总体中出现次数最多的标志值，即最普遍、最常见的标志值。众数只有在总体单位较多而又明确的集中趋势的资料中才有意义。单项数列中，出现最多的那个组的标志值就是众

数。若在数列中有两个的次数是相同的，且次数最多，则就是双众数或复众数。 （4）百分位数

如果将一组数据排序，并计算相应的累积百分位，则某一百分位对应数据的值称为这一百分位的百分位数。常用的有四分为数，指的是讲述分为四等分，分别位于25%，50%和75%处的分位数。百分位数适用于定序数据及更高级的数据，不能用于定类数据，百分位数的优点是不受极端值的影响。 表示离中趋势的统计量 （1）方差与标准差

方差是总体各单位变量值与其算数平均数的离差平方的算数平均数，方差的平方根就是标准差，与方差不同的是，标准差是具有量纲的，与变量值的计量单位相同，其实际意义要比方差清楚。因此对社会经济现象进行分析时，往往更懂的使用标准差。

根据所掌握的资料不同，方差和标准差的计算有两种形式，简单平均式和加权平均式。 在未分组资料情况下，简单形式

在资料分组情况下，采用加权平均式

（2）均值标准误差

均值标准误差就是样本均值的标准差，是描述样本均值和总体均值平均偏差程度的统计量。 （3）极差或范围

极差又称全距，是总体样本中最大变量值与最小变量值之差，即两极之差，用R表示。 根据全距的大小来说明变量值波动范围的大小 R=Xmax-Xmin

极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散情况，因此不能准确描述出数据的分散程度，且易受极端值的影响。 （4）最大值

顾名思义，最大值即样本数据中取最大的数据。 （5）最小值

即样本数据中取值最小的数据。 （6）变异系数

变异系数是将标准差或平均差与其平均数对比所得的比值，又称离散系数。计算公式

以上代表标准差系数和平均差系数。变异系数是一个无名数的数值，可用于比较不同数列的变异程度，其中，最常用的变异系数是标准差系数。 表示分布形态的统计量 （1）偏度

偏度是对分布偏斜方向及程度的测试。测量偏斜的程度需要计算偏态系数。这里只介绍中心矩偏态测度法。常用三阶中心矩除以标准差的三次方，表示数据分布的相对偏斜程度，计算方法如下：