正态分布相关 - 图文

如何检验数据是否服从正态分布

一、图示法

1、P-P图

以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2、Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。 3、直方图

判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。 4、箱式图

判断方法：观测离群值和中位数。 5、茎叶图

类似与直方图，但实质不同。 二、计算法

1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis） 计算公式：

g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。两种检验同时得出U0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。

2、非参数检验方法

非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk （W 检验）。

SAS中规定：当样本含量n ≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W 检验）为准，当样本含量n >2000 时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D 检验）为准。

SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算 Shapiro-Wilk 统计量。对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3 和 5000 之间时，计算该统计量。由此可见，部分SPSS教材里面关于“Shapiro – Wilk适用于样本量3-50之间的数据”的说法是在是理解片面，误人子弟。（2）单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验可用于检验变量（例如income）是否为正态分布。

对于此两种检验，如果P值大于0.05，表明资料服从正态分布。 三、SPSS操作示例

SPSS中有很多操作可以进行正态检验，在此只介绍最主要和最全面最方便的操作：

1、工具栏--分析—描述性统计—探索性

2、选择要分析的变量，选入因变量框内，然后点选图表，设置输出茎叶图和直方图，选择输出正态性检验图表，注意显示（Display）要选择双项（Both）。

3、Output结果

（1）Descriptives：描述中有峰度系数和偏度系数，根据上述判断标准，数据不符合正态分布。

Sk=0，Ku=0时，分布呈正态，Sk>0时，分布呈正偏态，Sk<0时，分布呈负偏态，时，Ku>0曲线比较陡峭，Ku<0时曲线比较平坦。由此可判断本数据分布为正偏态（朝左偏），较陡峭。

（2）Tests of Normality：D检验和W 检验均显示数据不服从正态分布，当然在此，数据样本量为1000，应以W检验为准。

（3）直方图

直方图验证了上述检验结果。

（4）此外还有茎叶图、P-P图、Q-Q图、箱式图等输出结果，不再赘述。结果同样验证数据不符合正态分布。

如何在SPSS中做数据正态转化？

在何以建老师培训班上，将数据标准正态化，何老师用的方法是：先将各原始分数按百分位排列，然后按照正态分布的面积（P值即百分位）找对应的Z值，这要转换到EXCEL表格里，用NORMSINV函数[ NORMSINV(p) 返回数值 z 这样概率 p 与一个标准的正常随机变量将采用为小于或等于 z 的值。]，然后再导入SPSS表格中，导放可不是件容易的事，因为有重复的分数，帮还要粘贴替代。

一个功能强大的SPSS，难道一个常用的数据正态化按纽也没有？ 当然有！

我用的是SPSS18.0，这是个汉化版，将一组数据正态化的按纽分别是：“转换”——“个案排秩”——把要正态化的数据迁入“变量”栏——把要呈现的表格式样迁入“排序标准”——再点右上角“秩的类型”——再点右下角“正态得分”，基本上就差不多了，只是正态化有四个选择项，我用的是Tukey法，这种方法对负偏态比较严重的分数相当好。（何以建老师一个一个尝试过）。

注： 在EXCEL中，函数NORMSINV 和 NORMSDIST 是相关的功能。如果 NORMSDIST(z) 返回 p，然后 NORMSINV(p) 返回 z。 其实，正态化没有那么神秘，如果我们知道了每个一分数在群体中的排名即可求出它的正态Z分，因为知道排位，即可知道它的百分位置，即面积P值。那当然轻而易举地知道Z分了。

数据的标准化、正态化、正态标准化的区别和联系，近期将一个一个描述清楚，到时请你关注我的博客。

现在网上找到一种算法，这个方法比较简单： 严格说来，回答你的问题需要讲四个

What's normal transformation?（什么是正态转换）

Why do we need normal transformation?（为何做正态转换） When is normal transformation needed? （何时做正态转化） How can we do normal transformation?（如何做正态转化） 我担心如果只讲How（如何做），也许有些初学者不分场合，误用滥用。但是，我同样担心如果从ABC讲起，难免过分啰嗦，甚至有藐视大家的智商之嫌。所幸者，我们已经进入Web 2.0年代，有关上述What, Why, When问题的答案网上唾手可得。如果对这些问题不甚了了的读者，强烈建议先到google上用“How to transform data to normal distribution\搜一下（或点击下面的“前10条”），前10条几乎每篇都是必读的经典。' 有了上述交代，我们可以比较放心地来讨论如何做正态转化的问题了。具体来说，涉及以下几步： 第一步，查看原始变量的分布形状及其描述参数（Skewness和Kurtosis）。这可以用Frequencies中的Histogram或Examination中的BoxPlot

第二步，根据变量的分布形状，决定是否做转换。这里，主要是看一下两个问题： !左右是否对称，也就是看Skewness（偏差度）的取值。如果Skewness为0，则是完全对称（但罕见）；如果Skewness为正值，则说明该变量的分布为positively skewed（正偏态，见下图1b）；如果Skewness为负值，则说明该变量的分布为negatively skewed（负偏态，见图 1a）。然而，肉眼直观检查，往往无法判断偏态的分布是否与对称的正态分布有“显著”差别，所以需要做显著性检验。如同其它统计显著性检验一样，Skewness的绝对值如大于其标准误差的1.96倍，就被认为是与正态分布有显著差别。如果检验结果显著，我们也许（注意这里我用的是“也许”一词）可以通过转换来达到或接近对称。