计算方法试题集及答案（新）

1、求解一阶常微分方程初值问题y?= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为

[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)?h?[0]y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?2?。

[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)??y??f(x,y)h?[0]?y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?y(x0)?y0?2?2、解初值问题的改进欧拉法是

2 阶方法。

3、解初始值问题 近似解的梯形公式是

4、解常微分方程初值问题

的梯形格式

是二阶方法

二、计算题

?dy2??x?x?y1.用改进欧拉方法计算初值问题?dx??y(0)?00?x?1，取步长h=0.1计算到y5。

?~?yn?1?yn?hf(xn,yn)解：改进的欧拉公式? ~h?yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]2?代入f(x,y)?x?x?y,且xn?nh,有

2h22yn?1?yn?[x2n?xn?yn?xn?1?xn?1?yn?h(xn?xn?yn)]2

?yn?0.05?(1.9x2(n?0,.1,2,3,4)n?2.1xn-1.9yn?0.11)xn 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5yn 0.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.14500

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2. 用梯形法解初值问题确解

解：用梯形法求解公式，得

相比较

取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准

解得

精确解为

?y'?x?y,0?x?13．用改进的Euler法解初值问题? ；取步长h=0.1计算y?0.5?，并与精

?y?0??1,确解y??x?1?2e相比较。(计算结果保留到小数点后4位)

解：改进的尤拉公式为：

??yn?1?yn?hf?xn,yn?? ??h?????yn?1?yn??f?xn,yn??f?xn?1,yn?1??2?????x代入f?x,y??x?y和xn?nh，有

yn?1?yn?2h2??2?h?x??2?h?ynn?h?2 ???h?2h?2?hh2y?nh?2nh????n222??0 0 1 00 1 03 '2

代入数据，计算结果如下： n xn yn y(xn） 1 0.1 1.1121 1.1128 1.2497 2 0.2 1.2485 1.3936 3 0.3 1.3918 1.5874 4 0.4 1.5849 1.795 0.5 1.794.设初值问题y?x?100y,y?0??0，

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a) 由Euler方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式； b) 由改进Euler方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。 解：a）根据Euler公式：yn?1?yn?hf?xn,yn?

y2n?1?yn?hf?xn?100yn?

yn?1?11y2n?0.001n 3分

?yn?1?yn?hf?xn,yn?b）根据改进Euler公式：?? ??yn?1?yn?h2?f?xn,yn??f?xn?1,yn?1??yhn?1?yn?2?x2100y2n?n?xn?1?100yn?1? =yh222

n?2?xn?100yn?xn?1?100?yn?h?xn?100yn??? =y?h2?1200y2nn?12xn?0.2xn?0.01? =61yn?0.006n2?0.001n?0.0005 5.设初值问题??y'?x?y?y(0)?1x?0，

a) 写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b) 写出由改进Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。解：a）根据Euler公式：

yn?1?yn?hf?xn,yn?

yn?1?yn?n0.1(xn?yn)?0.9yn?0.1xn

?yn?1?yn?hf?xn,b）根据改进Euler公式：?yn????yn?1?yn?h2?f?xn,yn??f?xn?1,yn?1??

yhn?1?yn?2?xn?yn?xn?1?yn?1? =y?hn2?xn?yn?xn?1??yn?h?xn?yn???

=yhn?2?xn?yn?xn?h?yn?hxn?hyn?

h2?2h?22h?h2h2 =2yn?2xn?2 =0.905yn?0.095xn?0.0055分

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6、用欧拉方法求

y(x)??e?tdt0x2

在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。 解：

y(x)??e?tdt0x2等价于

2??y??e?x???y(0)?0 (x?0)

?xx?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0. f(x,y)?e记,取h?0.5,02则由欧拉公式

?yn?1?yn?hf(xn,yn)??y0?0, n?0,1,2,3

可得 y(0.5)?y1?0.5,y(1.0)?y2?0.88940,

y(1.5)?y3?1.07334,y(2.0)?y4?1.12604

7、取步长h?0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题

?y??2x?3y??y(0)?1 (0?x?1)

(0)??yn?1?yn?0.2?(2xn?3yn)?(0)?yn?1?yn?0.1?[(2xn?3yn)?(2xn?1?3yn?1)]?答案：解：

即

yn?1?0.52xn?1.78yn?0.04

0 0 1 1 0.2 1.82 2 0.4 5.8796 3 0.6 10.7137 4 0.8 19.4224 5 1.0 35.0279 n xn yn ?dy??f(x,y)(c?x?d)?dx?y(x0)?y08、(10分) 求参数a,b，使得计算初值问题?的二步数值方法

yn?1?yn?h[af(xb(f?xy )]n,yn)?n1,?n1的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。

h2h3y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)2!3!解：

yn?1?y(xn)?h(ay?(xn)?by?(xn?1))

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