计算方法试题集及答案（新）

一、填空题 1、求

?21x2dx，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为

2.333 。

2． n次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n为偶数，则有 n+1 次代数精度。

3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式有 3 次代数精度。

4.插值型求积公式5、 计算积分?0.51?Af?x???f?x?的求积系数之和 b-a 。

kkk?0anb,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛

卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求

xdx?15f(x)dx≈( 12 )。

7、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f?(1)?( 2.5 )。

?8、若用复化梯形公式计算

个求积节点。

110exdx，要求误差不超过10，利用余项公式估计，至少用 477

?62f(x)dx?[f(?1)?8f(0)?f?(1)]??199、数值积分公式的代数精度为 2 。

10、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

?13f(x)dx?_________答案：2.367，0.25

,用三点式求得f?(1)? 。

10、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，有

11、

对于n+1个节点的插值求积公式

至少具有n次代数精度.

二、单项选择题：

1、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。

(A)

f(x1)?f(x0)x1?x0(B)f(x1)?f(x0)x0?x1(C)f(x0)?f(x1)x0?x1n(D)f(x1)?f(x0)x1?x0

2、在牛顿-柯特斯求积公式：

?baf(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)i?0(n)Ci中，当系数是负值时，公

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式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（A）n?8， （B）n?7， （C）n?10， （D）n?6， 三、问答题

1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？ 答：一个求积公式如果当为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 四、计算题

1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1)

解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 令

代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得

故求积公式具有3次代数精确度。

（2）

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（3） 解：令

代入公式精确成立，得

解得，

得求积公式

对

故求积公式具有2次代数精确度。

2.求积公式

?10f(x)d?x0A(0?f)1'A?(f10)B已f(知0)其余项表达式为，

R(f)?kf'''(?),??(0,1)，试确定系数A0,A1,B0，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出

代数精度的次数及求积公式余项。

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解：本题虽然用到了f'(0)的值，仍用代数精度定义确定参数A0,A1,B0。令f(x)?1,x,x2,分别代入求积公式，令公式两端相?f(x)?1,A20?A1?1?A03等，则得??f(x)?x,A??11?B0?1,求得?2?A1?3,则有?f(x)?x2,A1?13??B?106?10f(x)dx?211'3f(0)?3f(1)?6f(0)再令f(x)?x3,此时?110x3dx?14，而上式右端?3,两端不相等，故它的代数精度为2次。为求余项可将f(x)?x3代入求积公式?1'''0f(x)dx?23f(0)?13f(1)?16f'(0)?kf(?),??(0,1)当f(x)?x3，f'(x)?3x2,f''(x)?6x,f'''(x)?6,7.

代入上式得114??0x3dx?13?6k,即k??172,所以余项R(f)??172f'''(?),??(0,1)3、根据下面给出的函数f(x)?sinxx的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式 计算I??1sinx0xdx

xk 0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 f1 0.9970.98960.9760.95885(xk) 39784 1584 72675 108 xk 0.625 0.750 0.875 1.000 f0.9360.9080.87710.841 (xk) 15563 85168 9257 47098 解 用复合梯形公式,这里n=8,h?18?0.125, ?1sinx0xdx?0.1252{f(0)?2[f(0.125)?f(0.25)?f(0.375)?f(0.5)?f(0.625)?f(0.75)?f(0.875)]?f?1?}

?0.94569086用复合辛甫生公式: 这里n=4,h?14?0.25.可得

?1sinx0xdx?0.256{f(0)?4[f(0.125)?f(0.375) 16