曲线运动经典例题

所示。雨滴飞出的速度大小 v＝rω，在竖直方向上有h＝1

2 gt2，在水平方向上有 s＝vt，又

由几何关系可得 R＝r2?s2，

联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径 R＝ r

g

g2?2g?2h。

15、关于向心加速度，以下说法中正确的是（ AD ）

A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直

B. 向心加速度的方向保持不变

C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 【解析】 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向就不始终指向圆心。

16、如图所示，A、B两轮同绕轴O转动，A和C两轮用皮带传动，A、B、C三轮的半径之比为2∶3∶3，a、b、c为三轮边缘上的点。求：

⑴ 三点的线速度之比； ⑵ 三点转动的周期之比； ⑶ 三点的向心加速度之比。

【解析】⑴ 因A、B两轮同绕轴O转动，所以有ωa＝ωb，由公式v＝ωr可知 va∶vb＝(ωa ra)∶(ωb rb)＝ra∶rb＝2∶3。

因为A和C两轮用皮带传动，所以有 va

＝vc ，

综上所述可知三轮上a、b、c三点的线速度之比 va∶vb∶vc＝2∶3∶2。

⑵ 因为ωa＝ωb，所以有Ta＝Tb。因为va＝v2πr

c，根据T＝v

可得

Ta∶Tc＝

ra∶rc＝2∶3，

所以三点转动的周期之比 Ta∶Tb∶Tc＝2∶2∶3。

根据向心加速度公式a＝v2

⑶R 可得三点

的向心加速度之比

2 avv2a∶ab∶ac＝abr∶∶

arbv2cr＝

c42

∶

93 ∶4

3

＝6∶9∶4。 17、如图所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，

这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的

FT1 FT 受力情况，下列说法中正确的是（ C ）

θ A．摆球受重力、拉力和向心力的m F FT2作用 θO B．摆球受拉力和向心力的作用

L C．摆球受重力和拉力的作用 G m D．摆球受重力和向心力的作用

【解

析】物

体只C B A a O 受重c b 力G 和拉

力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2，显然，FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。

18、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀A 速圆周运动，则以下说法中正确的

是（ AB ）

B θ

A．A球的线速度必定大于B球的线速度 B．A球的角速度必定小于B球的线速度 C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期

D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力

【解析】小球A或B的受力情况如图，两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力，建立坐标系，有FN1＝FNsinθ＝mg，FN2＝FNcosθ＝F，

所以 F＝mgcotθ，即小球做圆周运动所需的向心力，可见A、B两球的向心力大小相等。

F＝mv2

比较两者线速度大小时，由r 可

知，r越大，v一定较大。

比较两者角速度大小时，由F＝mrω2可知，r越大，ω一定较小。

比较两者的运动周期时，由F＝mr(2π

)2

T可知，r越大，T一定较大。

由受力分析图可知，小球A和B受到的支持力Fmg

N都等于sinθ

。

19、一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm。

⑴ 若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；

⑵ 若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力。

【解析】 ⑴ 以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最

小。此时有 mg＝mv20l，则所求的最小速率

为 v0＝gl＝10?0.5m/s＝2.24m/s。 ⑵ 在最高点，水所受重力mg的方向竖直向下，此时水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定。

F＝mv2

由向心力公式r 可知，当v增大时，

物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v＝3m/s＞v0＝2. 24m/s，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已y 不足以提供水做圆周FN1 运动所需的向心力，此

FN 时桶底对水有一向下O θ F，则

N2 x 的压力，设为FN由牛顿第二定律mg θ Fv2

有N＋mg＝mr

，

2故

FN

＝

m

vr

－

mg?0.5?320.5N?0.5?10N＝4N。