成人高考高等数学模拟考试题和答案解析

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【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．

比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算：

由于其比的极限为常数2，所以选项C正确．

请考生注意：由于分母为x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x，否则将导致错误的结论．

与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”．例如：当x→0时，x-In(1+x)是x的 A．1/2阶的无穷小量 B．等价无穷小量 C．2阶的无穷小量 D．3阶的无穷小量

要使上式的极限存在，则必须有k-2=0，即k=2． 所以，当x→0时，x-in(1坝)为x的2阶无穷小量，选C． 2．【答案】应选D．

【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算． 本题的解法有两种：

解法1先用换元法求出?(x)的表达式，再求导．

设sinx=u，则?(x)=u2，所以?ˊ(u)=2u，即?ˊ(x)=2x，选D．

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解法2将?(sinx)作为?(x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成?ˊ(x)的形式． 等式两边对x求导得

?ˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx，?ˊ(sin x)=2sinx． 用x换sin x，得?ˊ(x)=2x，所以选D．

请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：

(2004年)设函数? (cosx)=1+cos3x，求?ˊ(x)．(答案为3x2) 3．【答案】应选C．

【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例， 例如：

y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D．

y=x3，x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B，所以命题C是正确的． 4．【答案】应选A．

【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A，也可以直接求微分得到dy．

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5．【答案】应选D．

【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项． 因为yˊ=ex-1，令yˊ=0，得x=0．

又y″=ex>0，x∈(-1，1)，且y″|x=0=1>0，所以x=0为极小值点，故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈(-1，1)时，函数有增有减，所以应选D． 6．【答案】应选B．

【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来，再确定选项．

7．【答案】应选B．

【提示】根据极值的第二充分条件确定选项． 8．【答案】应选D．

【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法．

9．【答案】应选B．

【解析】用二元函数求偏导公式计算即可．

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10．【答案】应选C．

【解析】利用条件概率公式计算即可．

二、填空题 11．【答案】应填e-2.

【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e-2．

12．【答案】应填2．

【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k值．

13．

【解析】用复合函数求导公式计算．

14．【答案】应填6．

15．

【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导．

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