2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 - 教师版

1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.

已知椭圆C的两个焦点分别为F， 0)、F2(1， 0),短轴的两个端点分别为B1、 B2 1(?1(1)若?F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;

l(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、 Q两点,且F1P?FQ1,求直线

的方程.

2．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆

C:

x2y2?2?1,(a?b?0)2ab的两个焦点分别为

41F1(?1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,).

33(Ⅰ)求椭圆C的离心率;

(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N

两点,点Q是线段MN上的点,且

211??|AQ|2|AM|2|AN|2

,求点Q的轨迹方程.

3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆C:x2y2?2?1(a?b?0)2ab的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为(Ⅰ)求椭圆C的方程;

3,过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为1.

C12(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1PF2的角平分线PM交C 1,PF2,设?F的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线

PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明

11?kk1kk2为定值,并求出这个定值.

x2?y2?1,曲线C2:|y|?|x|?1,P4．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线C1:2是平面上一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.

(1)在正确证明C1的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线

y?kx与C2有公共点,求证|k|?1,进而证明原点不是“C—C型点”;

1

2

(3)求证:圆x2?y2?1内的点都不是“C—C型点”. 21

2

5．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点别记为

A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分

和

A1,A2,....A9B1,B2,....B9,连结

OBi,过

Ai做

x轴的垂线与

OBi交于点

Pi(i?N*,1?i?9).

(1)求证:点Pi(i?N*,1?i?9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;

(2)过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N,若?OCM与?OCN的面积比为4:1,求直线的方程.

6．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线E:x的直线l1,l2,且k1?k22?2py(p?0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同

?2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆

N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l. (I)若k1?0,k2?0,证明;FMFN?2P2;

755,求抛物线E的方程.

(II)若点M到直线l的距离的最小值为7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点P(0,?1)是椭圆

x2y2C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2?y2?4的直径.l1,l2是过点

abP且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D

(1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.

y l1 D O P A （第21题图）

8．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O,

长轴在x轴上,离心率e?(1)求该椭圆的标准方程;

(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P?,过P,P?作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQl2

B x 22,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于

A,A?两点,AA??4.

?P?Q,求圆Q的标准方程.

【答案】

x2y2?1的9．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆E:2?a1?a2焦点在x轴上

(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交并且F1P?y轴与点Q,

FQ1,证明:当a变化时,点p在某定直线上.

10．（2013年高考新课标1（理））已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动圆P与M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

x2y211．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆2?2?1(a?b?0)的

ab343左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

33(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若

AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.

【答案】

31x2y212．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线

22abl的方程为x=4.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) AB是经过右焦点F

的任一弦(不经过点

P),设直线

AB与直线

l相交于点

M,记

PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?若不存在,说明理由.

,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;

13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线C的顶点为原点,

其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为

A,B为切点.

322.设P为直线l上的点,过点P作

抛物线C的两条切线PA,PB,其中(Ⅰ) 求抛物线C的方程;