人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)

环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】

阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】

1．用配方法解下列方程： (1)x2－5x＝0； x1＝0，x2＝5. (2)2x2－4x－1＝0. x1＝1＋

66，x2＝1－. 22

2．如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步－b＋b2－4ac－b－b2－4ac

骤求出它的两根？ x1＝，x2＝. 2a2a

【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定．

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0.当b2－4ac≥0时，－b±b2－4ac

将a、b、c代入式子x＝就得到方程的根．

2a

(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__. (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b2－4ac__.当Δ__>__0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．

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4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x2＋8x＝－3； (2)9x2＋6x＋1＝0； (3)2x2－9x＋8＝0； (4)x2－7x－18＝0.

解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．

【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程： (1)2x2＋1＝3x； (2)2x(x－1)－7x＝2.

【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？ 【解答】(1)原方程整理，得2x2－3x＋1＝0. 其中a＝2，b＝－3，c＝1，

则Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1>0. －b±b2－4ac－?－3?±1∴x＝＝，

2a2×21

即x1＝，x2＝1.

2

(2)原方程整理，得2x2－9x－2＝0. 其中a＝2，b＝－9，c＝－2，

则Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. －b±b2－4ac－?－9?±97∴x＝＝，

2a2×29＋979－97

即x1＝，x2＝.

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【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；(2)求出Δ＝b2－4ac的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相－b＋b2－4ac－b－b2－4ac

等的实数根，即x1＝，x2＝；当Δ＝0时，方程有两个相等的

2a2ab

实数根，即x1＝x2＝－；当Δ<0时，方程没有实数根．

2a

【活动2】 巩固练习(学生独学)

1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

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C．有一个实数根 D．没有实数根

42．如果方程5x2－4x＝m没有实数根，那么m的取值范围是__m＜－__.

53．用公式法解下列方程：

(1)2x2－6x－1＝0； (2)2x2－2x＋1＝0； (3)5x＋2＝3x2.

3＋113－11

解：(1)x1＝，x2＝. 22(2)方程没有实数根． 1

(3)x1＝2，x2＝－.

3

【活动3】 拓展延伸(学生对学)

【例2】已知a、b、c分别是三角形的三边，试判断方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况．

【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？

【解答】∵a、b、c分别是三角形的三边，∴a＋b＞0，c＋a＋b＞0，c－a－b＜0，∴Δ＝(2c)2－4(a＋b)·(a＋b)＝4(c＋a＋b)(c－a－b)<0，故原方程没有实数根．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b2－4ac判断方程的根的情况．

环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)

Δ>0?方程有两个不相等的实数根??

1．一元二次方程根的情况?Δ＝0?方程有两个相等的实数根

??Δ<0?方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根为

－b±b2－4ac

x＝. 2a

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请完成本课时对应练习！16