2020年高考数学(理)二轮专项复习专题07-立体几何

(Ⅲ)证明：在长方体ABCD－A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'． 因为E，G分别为AA'，A'D'中点， 所以AD'∥EG，

从而EG∥BC '．又BC'?平面EFG， 所以BC'∥平面EFG．

例5 有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是3a，4a，5a，高为

2，其中a＞0．用它们拼成一a个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求a的取值范围．

2

解：直三棱柱ABC－A1B1C1的三个侧面的面积分别是6，8，10，底面积是6a，因此每个三棱柱的表面积均是22

2×6a＋6＋8＋10＝12a＋24．

情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：

222

2×(12a＋24)－2×6a＝12a＋48．

情形②：将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一

22

定是：2×(12a＋24)－2×8＝24a＋32．

情形③：将两个直三棱柱的侧面ACC1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积

22

一定是：2×(12a＋24)－2×6＝24a＋36．

2

情形④：将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2×(12a＋24)－2×102

＝24a＋28

在以上四种情形中，②、③的结果都比④大，所以表面积最小的情形只能在①、④中产生．

依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a＋28＜12a＋48，解得a2?2

2

5, 3所以a的取值范围是(0,15)? 3例6 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F－A1ED1的体积．

【分析】计算三棱锥F－A1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A1ED1的距离，直接求解比较困难．利

用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如VF?AED?VA1?EFD1，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法

11求解．

解法1：取AB中点G，连接FG，EG，A1G． ∵GF∥AD∥A1D1，∴GF∥平面A1ED1，

∴F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离．

∴VF?A1ED1?VG?A1ED1?VD1?A1EG?1131S?A1EG?A1D1??a2?a?a3. 3388

解法2：取CC1中点H，连接FA1，FD1，FH，

FC1，D1H，并记FC1∩D1H＝K．

∵A1D1∥EH， A1D1＝EH，∴A1，D1，H，E四点共面． ∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴FC⊥A1D1．

又由平面几何知识可得FC1⊥D1H，∴FC⊥平面A1D1HE． ∴FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离． 容易求得FK?35115235a13a,?VF?A1ED1?S?A1ED1?FK??a??a. 10334108练习7－2

一、选择题：

1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) (A)2? (B)4? (C)8? (D)16?

2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

(A)9? (B)10? (C)11? (D)12?

3．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为12 cm．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均

2

要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m，那么为这批笔筒涂色约需涂料( ) (A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg 4．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为( ) (A)22

(B)23

(C)4

(D)25

二、填空题：

5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，则EF的长等于______．

6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝1，则三棱锥D－ABC的体积是______．

7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．

8．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①：_______________________________________________________________； 充要条件②：_______________________________________________________________． (写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题：

9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点．

(Ⅰ)求证：BD1∥平面ACE；

(Ⅱ)求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．

10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧

视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(Ⅰ)求该几何体的体积V； (Ⅱ)求该几何体的侧面积S．

11．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1．

(Ⅰ)求证：E，B，F，D1四点共面； (Ⅱ)若点G在BC上，BG?2，点M在BB1上，GM⊥BF，求证：EM⊥面BCC1B1． 3§7－3 空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b． (2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数??，使得a∥??b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数??，??，使得c＝??a＋??b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b?a·b＝0； 2

|a|＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．

③空间向量的数量积的运算律： (??a)·b＝??(a·b)； 交换律：a·b＝b·a；

分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (4)空间向量运算的坐标表示：

①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．

②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； ??a＝(??a1，??a2，??a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． ③空间向量平行和垂直的条件：

a∥b(b≠0)?a＝??b?a1＝??b1，a2＝??b2，a3＝??b3(??∈R)； a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．