中学代数研究作业绵阳师范学院

中学代数研究作业

第一章

自然数系和0

1、用自然数的序数理论证明：

数 与 数 系

（1）3?4?7 （2） 2、把

n23?4?12

个互不相等的自然数排成一个n级方阵，取每行数的最大数，

得n个数，设其中最小的一个是x；再取每列数的最小数，又得n个数，设其中最大的一个是y.试比较x与y的大小. 3、考察下列等式 2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64

????? 试猜想一个一般公式，并加以证明.

4、证明：在2n?2n （n?N）个相等的小方格组为的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这样3个小方格构成的L形块恰好铺满. 5、证明：可以把自然数1，2，3，??，n 相邻两数之差不超过2. 6、 已知

f(1)?f(2)?1

(n?3)

围成一圈， 使每

f(n?2)?f(n?1)?f(n) n?1,2,?

求证 对任何m,n?N，有

f(n?m?1)?f(n)f(m)?f(n?1)f(m?1)

7、 设 f(n)?2n?1

?1.

?3n?1?g(n)??

??fg(n?1),n?2,3,?,?? 求证

g(n)?2n?1 1

中学代数研究作业

8、现有111张卡片，在每张卡片上都写上一个自然数，若这111个自然数的和小于3136，证明至少有3张卡片上的数相等. 9、 已知f(m,n)对任何m,n?N，满足

?f(1,n)?n?1,??f(m?1,1)?f(m,2),?f(m?1,n?1)?f(m,f(m?1,n)),?

求证：1）f(2,n)?n?2 2）f(3,n)?2n?2 3）f(4,n)?2n?2整数环 1、已知

p10a?b,p10c?d，求证 pad?bc.

?1.

a?b?2

2、设2不整除a，求证 8a23、设a,b?Z， 求证 2a3?b3的充要条件24、已知

a?k?10n.

，n?N ，k?N??0? ，

求证：(a?1)(a?3)(a?7)(a?9)的末三位数是189. 5、证明：前n个自然数的和的个位数码不能是2，4，7，9. 6、已知

f(1)?f(2)?1

f(n?2)?f(n?1)?f(n)f(n).

n?1,2,?

求证 当4n时，37、证明从1，2，??，100里任意取出的51个数中，至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数. 有理数域

1、 把下列分数可以化成怎样的循环小数，并且指出循环节长：

2

中学代数研究作业

1）

166 ； 2）

2925； 3）

34608 ； 4）

41001.

2、把下列小数可以化成分数 1）0．83654 2）0.37689345 3、已知

f(1)?f(2)?1 f(n?2)?f(n?1)?f(n)。。.. n?1,2,?

an表示f(n)的个位数码，求证 0.a1a2?an?是有理数. k,n?N,an表示 1k?2k???nk

4、已知 的个位数码，

求证 5、将

17980.a1a2?an?是有理数.

分解成三个单位分数之和，能够分成四个吗？

实数集

1、 下列闭区间是否组成闭区间套？能否确定唯一的实数？ 1）??13?n?2??24??n，?，?，?，?,?，，?; ??22??33??n?1n?1???3??2n?1?，1?，?，1?，?,?，1?，?; 242n??????b,d 2）??12、设a,b,c,d?Q,3、已知 0＜ak＜

是无理数，且a?b?c?d, 求证：a?c,b?d 中至少有两个数，

2 ，k2?0,1,?,n, 求证在a0,a1,?,an它们差的绝对值小于

n .

a,n4、设a＞0，b＞0，a,b互素，n求证nabb不全是整数，

是无理数.

b)是无理数.

5、设a＞1，b＞1，a,b互素，求证lg(a6、证明

2?3是无理数.

7、求适合x2??x??2?0的一切实数.

3

中学代数研究作业

复数域

1、 已知在三角形ABC中，?C求证： ?AC2、 设?1?cos??BD??2，D是AB上任一点，

??AB?CD?2??BC?AD?2?2

?isin??8是实数，求?.

3、 用复数的乘法证明： 1） 2）

arctanarcsin1345?arctan?arcsin_15513?arctan?arcsin17?arctan?18??4

1665?2

?64、在复平面内zz=3表示怎样的图形，求角的终边与这个图形 交点A所对应的复数.把OA按逆时针方向旋转到OB，

4???????求B点所对应的复数.

5、设P为定直线AB外任一点，把AP按逆时针方向旋转到AP?，

2??????? 再把BP按顺时针方向旋转到BP??，求证P?与P??的中点是定点. 2???????6、计算

（3?i）(1?i)10050

第二章 式、代数式、不等式

整式 1、如果

x?Ax?Bx?cx?d432?8x?是x2?Cx?D的完全平方，求A、B、C、D.

2、求ax3?bx2为完全平方式的条件. 能被x2?h23、如果ax3?bx2?cx?d整除，证明

ad?bc .

4、将下列各式作因式分解并指出所用方法 （1）a2?ab?6b?5a?35b?362

（2）bc(b?c)?ca(c?a)?ab(a?b) （3）(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120

4