2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷

得≤x≤．

）上的单调递增区间为（0，

]．

∴f（x）在（0，

【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．

19．（15分）如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PC⊥BC．

（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．

【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可

（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO即可．

【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC． ∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．

（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，所以MO∥PA，

又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角． 设AC=2，则BC=2

，MO=1，OH=

， ．

在Rt△MHO中，tan∠MHO=二面角M﹣AC﹣B的大小为300．

第17页（共22页）

【点评】本题考查了线线的位置关系，及二面角的求解，属于基础题，

20．（15分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．

（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；

（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），

当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增， 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减， 由f（0）=f（0）=0，f（1）=， ∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]； （Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，

①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意， ②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，

则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增， 在（x1，x2）上单调递减，

第18页（共22页）

由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤， ∴丨

﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，

化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，

综合①②，可得a2≤4， 解得：﹣2≤a≤2． a的取值范围[﹣2.2]．

【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及值域，考查分类讨论思想，属于中档题．

21．（15分）已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C：上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为

的直角三角形，求直线MN的方程．

+

=1（a＞b＞0）

【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，

=

，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边

丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的

时，两平行线AB与MN的距离d=值，求得直线方程．

第19页（共22页）

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C：由点A（﹣2，0），B（0，1）， 则a=2，b=1， ∴椭圆的标准方程：

；

+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则

，消去y，整理得x2+mx+m2﹣1=0，

则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2， 则丨MN丨=

丨x1﹣x2丨=

=

，

，解得：m=0，

①当MN为斜边时，满足△＞0，

此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，

点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P． 此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，

②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10， 即21m2+8m﹣4=0，

解得：m=，m=﹣（舍）， 由△＞0，则m=，

过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣圆外，

即在线段AB上存在点P，

∴直线MN的方程为y=x+，符合题意， 综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．

第20页（共22页）

丨m﹣1丨，

，﹣），垂足在椭