习题答案

βFM)fm为440kHz。

如果在此基础上信号振幅再加倍，则βFM= KFMAm/ωm加倍成为20，此时近似带宽为840kHz。 4.6已知有一窄带调频信号，其载频为1MHz，调制信号为1kHz的单频余弦信号，其最大频率偏移

（1）试求其调制指数β?fmax为10Hz。

FM ；(2)若要得到一最大频率偏移为200KHz的调频信号，试求需要使用多少倍的倍频器？此时的载波频率为多少？

解：由式（4-5），调频指数βFM= ωmax/ωm＝0.01

N=200kHz/10Hz=20000倍，故须用20000倍的倍频器。 此时载波频率为20GHz。

4.7在题4.6中，若欲保持载波频率不变，可以采用怎样的一次混频器？

解：经过倍频之后，载波由1MHz变成了20000MHz。若欲通过混频将载波恢复到1MHz，则可以通过用19999MHz的频率进行下变频。 4.8 已知一调频信号，其载波平均功率为1瓦特，调频指数为0.01，求其FM信号各次边带的平均功率分别约为多少？ 解：由贝塞尔函数的第三条性质，当指数β<<1时，

?J0(?)?1；J1(?)??/2，J?1(?)???/2。其余各阶函

2=0.000025瓦特，而载波功率为0,99995瓦特。 （?/2）数近似0。由此可得调频信号1次和－1次边带的平均功率近似值都是

习题5

5.1 已知某通信系统，输出的信号为单频正弦信号，其最大瞬时电平为2伏特。输出的噪声功率为0.1mW，试计算其输出信噪比为多大？如果将信号的电平扩大为原先的10倍，此时输出信噪比为多大？ 解：输出信号为单频正弦信号，故其平均功率为

S?12A0=2瓦特。 2输出信噪比为

SNR?S2??20000?43dB N0.0001如果信号电平扩大为10倍，则信号功率扩大为100倍，而噪声功率不变，此时输出信噪比为2000000，约等于63dB

5.2 已知某通信系统中的接收机，输入信号功率为3mW，噪声功率为0.001mW；输出信号功率为50mW，噪声功率为0.015mW，求该接收机的信噪比增益为多大？ 解：G=

SNRoSo/No50?0.001???1.1111

SNRiSi/Ni3?0.0155.3 某通信系统，发射功率为20W，在信道传输的功率衰减为80dB，接收机接收到的噪声功率为0.01uW（uW＝微瓦，瓦特的百万分之一），求此时

接收机的输入信噪比为多大？

S20?10－8??20。输入信噪比为20，或大约13dB 解：SNR?N0.01?10?65.4 某接收机，当接收基带信号f(t)进行的双边带调制信号时，其输出噪声功率为0.001uW，为了有效通信，要求输出信噪比为30dB。已知从发射机到接收机的功率损耗为90dB，若分别采用双边带和单边带调幅系统进行调制－解调，问发射的功率分别应为多少？ 解：对双边带调幅系统，由式（5-15）调系统的输入噪声功率）为

GDSB?2。输出信噪比为30dB，故输入信噪比应为5×102。再根据接收机的输出噪声功率（即解

10?9W，可知接收机得到的信号功率应为。再由发射到接收机的功率损耗为90dB即109，因此发射功率应为500W。

3对于单边带调幅系统，GSSB＝1，因此要求解调系统的输入信噪比也是10。同时，由于同样的信号f(t)，其单边带调制信号占用带宽只及双边带

?7信号带宽的一半，因此其接收机输出的噪声功率也只有0.0005uW。可知接收机得到的信号功率也是5×10W。故而发射功率为500W。

5.5 采用相干解调法，分别解调双边带调幅信号和单边带调幅信号。已知基带信号f(t)最高频率fm=1KHz，载波频率fc为1MHz。接收到的已调制信号功率为0.01W，信道噪声的双边功率谱密度为5×解：基带信号单边带宽为1kHz。

W/Hz。试计算并比较对两种调制信号解调器的输入信噪比、输出信噪比和信噪比增益。

n0/2＝5?10?9W/Hz

对双边带调幅而言，s(t)单边带宽为2kHz，因此有： 解调器输入噪声为

Ni?Bs?n0＝2kHz?2?5?10?9W/Hz＝2?10?5W

Si10?2解调器输入信噪比为SNRi???500

?5Ni2?10因为GDSB?2，故输出信噪比为1000（30dB）。

对单边带调幅而言，s(t)的单边带宽为1kHz，因此有

Ni?Bs?n0＝1kHz?2?5?10?9W/Hz＝10?5W Si10?2SNRi???1000

Ni10?5因为GSSB?1，故输出信噪比为1000（30dB）。

可见两者的输出信噪比是一样的。

5.6 一调频接收机，当采用单频正弦信号f(t)进行调制，输入信噪比为30dB。设调制指数为10，求输出信噪比为多少？ 解：由式（5-52），在大信噪比情况下，对于调制指数

GFM=3?FM3

?FM＝10，信噪比增益为3000。故输出信噪比为3?106（约65dB）

5

5.7 已知调频信号发射的载波幅度为10，频偏常数为5000，调制信号f(t)=sin100000πt，信道噪声功率谱密度为输信道衰减40dB，求解调系统的输入和输出信噪比分别为多少？

n0?10?10W/Hz，传2解：调制信号f(t)为单频时，由式（4-5），βFM= K

FMAm/ωm，即

βFM=

发射信号功率为50，接收的信号功率（即解调系统的输入信号功率）为

5000?1/100000??0.0159Si?50×10?4?5?10?3

由于此时属于窄带调频，信号近似单边带宽为

Bs?2fm?105Hz，因此解调系统的输入噪声功率为

Ni?Bs?n0＝2?105Hz?10?10W/Hz＝2?10?5W 由此可得输入信噪比为SNRi?Si/Ni?250（约24dB）

此时在门限阀值之上，因此有

GFM=3?FM?0.0121。由此可得输出信噪比约为3.024（约6.8dB）

35.8 对于需要同时传输256路信号的频分复用系统而言，若直接进行调制，需要产生多少种频率的载波？若是进行二级和四级调制，各自需要多少种频率的载波？

解：直接对256路信号进行频分复用的调制，产生256路中心频率不同的带通信号，需要256路不同的载波； 采用二级调制，即16×16的调制，每一级需要16路载波，故总计需要32路不同的载波。 采用四级调制，即4×4×4×4的调制，每一级需要4路载波，总计需要16路不同的载波。

习题6

6.1 设信号f(t)的带宽为250kHz，请问用下列哪些频率对它进行采样，可以从采样信号中无误差地恢复出原信号？（1）125kHz（2）200kHz（3）

400kHz（4）550kHz（5）1000kHz

解：无频谱混叠的采样要求采样频率大于信号带宽的2倍，因此（4）（5）的采样可以无误差的恢复原信号。

6.2 设有带通信号f(t)，其最高频率分量为1000Hz，最低频率分量为850Hz，请问用哪些频率可以对它进行无混叠的带通采样？

解：该式中，

样频率

，令M为任意满足M≤fH/B的正整数，选择采fH＝1000，fL＝850，B＝150。根据带通采样定律和式（6-5）

fs=2fH/M即可对信号进行无混叠的带通采样。显然在本例中，M可能的取值为1，2，3，4，5，6。由此可得：

M=1，fs＝2000 Hz； M=2，fs＝1000 Hz； M=3，fs＝2000/3 Hz M=4，fs＝500Hz M=5，fs＝400Hz M=6，fs＝1000/3 Hz

以上6个频率可以对信号f(t)进行无频谱混叠的带通采样。

6.3 已知信号f(t)的幅度取值范围为（－2V，6V），欲对其进行均匀量化，量化电平数为8，请设计量化电平和分层电平。 解：信号幅度取值范围共计为8V，量化电平数为8，故量化间隔△＝1V。即

yi=-1.5，-0.5，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5 xi=－2，－1，0，1，2，3，4，5，6

6.4 如6.3题，试计算这时的量化噪声平均功率为多大？ 解：由式（6-11），在不过载的情况下，量化噪声平均功率为P＝

12?。在本题中，其功率为P=1/12 126.5 设有均匀量化器，其编码位数为12位。当输入信号为正弦波，且其最大幅度恰好保证系统不过载，计算此时的信噪比是多少dB？如果输入

的正弦波其最大幅度减小为先前的1/4，此时信噪比又是多少？ 解：设量化间隔为△，由于采取12位的编码，可知信号的峰-峰值为

212?，即单峰值为2048△。由此可得

1(2048?)2?S2＝SNR??12?221?74dB

1N?2?12或者直接将n=12代入6-14式也可得到同样的结果。

如果输入正弦波最大幅度减小为先前的1/4，则信号功率减小为原先的1/16，而噪声功率不变。此时信噪比为 6.6 某数字音频处理器，针对的音频信号，其模拟信号的动态范围为60dB。若要求量化后的最小信噪比不低于32dB，试计算大约需要多少位编码？

如果对音频采样率是10kHz，此时量化后信号的码元速率为多少？ 解：

要求量化后最小信噪比不低于32dB，而音频信号的动态范围为60dB，故音频信号幅度最大时的信噪比为92dB。 再根据式6-14，设采用n位编码，则当音频信号幅度最大时，其信噪比为

12?217?62dB 6

SNR＝1.76+6.02n，代入可得n≥14.99。因为n必须为整数，故n取值为15。由此可知大约需要15位编码。

对音频信号的采样率为10kHz，每一个采样样本用15位进行编码，因此量化后的码元速率为150kHz 6.7 试用四位的自然码、折叠码和格雷码分别表示下列电平：5△，-5△，-2△。设△为量化台阶。 解：由表6-1，表示电平如下

自然码：5△＝1100，-5△＝0011，-2△＝0110 折叠码：5△＝1100，-5△＝0100，-2△＝0001 格雷码：5△＝1010，-5△＝0010，-2△＝0101

6.8 试用A律折叠码分别对以下电平进行编码，并计算解码后产生的误差。（1）1799△（2）-2000△（3）555△。其中△为最小量化台阶。 解：（1）1799△。根据表6-2，选择起始电平为正向第八段，即前四位1111。 1799－1024＝775>512，故第五位取1 775-512=263>256，故第六位取1 263-256=7<128，故第七位取0

7<64，故第八位取0。因此最终编码为11111100

解码后的电平值为1024+512+256+32=1824△，误差为25△

（2）-2000△。根据表6-2，选择起始电平为负向第八段，即前四位0111。 2000－1024＝976>512，故第五位取1 976－512＝464>256，故第六位取1 464－256＝208>128，故第七位取1

208-128=80>64，故第八位取1。因此最终编码为01111111

解码后的电平为－[1024+512+256+128+64+32]=2016△，误差为16△

（3）555△。根据表6-2，选择起始电平为正向第七段，即前四位为1110 555－512＝43<256，故第五位为0 43<128，故第六位为0 43<64，故第七位为0

43>32，故第八位为1。因此最终编码为11100001 解码后的电平为512＋32＋16＝560△，误差为5△

习题7

7.3 已知双极性非归零二进制信号，其“1”用电平1表示，“0”用电平－1表示。两者出现的概率分别为0.6和0.4。试写出该数字信号的功率谱密度，并计算出其总的平均功率、直流功率和基波功率。 解：由式（7-2）可得

?222

sb12b1b2bbm???其中P＝0.6，G1(f)为时域方波信号的频谱函数，G2(f)=－G1(f)。代入化简可得

?222

sb1b1bbm????92dBP(f)?fP(1?P)|G(f)?G(f)|?f?|PG(mf)?(1?P)G(mf)|?|0.2G(mf)|?(f?mf)?(f?mf)P(f)?f0.24|2G(f)|?f由于G1(f)=

Tbsin?Tbf?Tbf，对于所有的f=mfb，当m不等于0时有G1(f)=0，又因为fbTb=1，故上式可化简为

sin?TbfTbPs(f)=0.24?Tbf2?0.04?(f)

由于每个码元的平均功率为1，故而信号总的平均功率为1；由于信号传输码元1（电平1）的概率为0.6，传输码元0（电平－1）概率为0.4，因此信号的均值电平为0.6-0.4=0.2。直流功率即为0.04。又由于信号功率谱的基波分量为0，故基波功率也为0。

7.4 假设数字基带系统的传输滤波器为一低通滤波器，其截止频率为10KHz。今有几个数字码元序列，其码速分别为5000，8000，10000，20000，25000（单位：波特），问哪些码速的信号可以实现无码间串扰的传输？ 解：对截止频率为W的低通滤波器，其满足无码间串扰传输的码元速率须满足的码元速率须满足

fb=2W/M。其中M为正整数。代入W＝10kHz，可知无误码传输

，10000（M＝2）和20000（M＝1）三个。 fb=20kHz/M。题目中给出的几个码速中，符合要求的有5000（M＝4）

7.5 某滤波器的频谱特性如图所示。若输入速率等于2fb的脉冲序列，问该传输滤波器是否能保证无码间串扰的传输？若序列的码速为fb呢？码速为0.5fb呢？

解：要对输入速率为2fb的脉冲序列进行无码间串扰的传输，则滤波器须经频谱搬移后等效为截止频率为Mfb的理想低通滤波器。显然图示的滤波器不满足。

fb的脉冲序列进行无串扰传输，滤波器经搬移后须等效为截止频率为Mfb/2的理想低通滤波器。显然图示的滤波器可以等效

为截止频率0.5fb的理想的容滤波器，故能满足无误码传输条件。 同理，对码速0.5fb的脉冲序列也能进行无误码传输。

要对输入速率为

7.6 已知四元码数据的信息速率为64kbit/s，试按照以下几种滚降系数设计余弦滤波器，并求相应的信道最小带宽和频带利用率。(1)α=0.2；（2）α＝0.3 ；(3) α=0.4 ；(4) α=0.5 ；(5) α=1。 解：四元码，每一个码元的信息量为2bit，因此其码元速率为波器的带宽为B=(1+α)W，而频带利用率为η＝(1)B＝19.2kHz，η＝5/3≈1.67 (2)B＝20.8kHz，η＝20/13≈1.54 (3)B＝22.4kHz，η＝10/7≈1.43 (1)B＝24kHz，η＝4/3≈1.33 (1)B＝32kHz，η＝1

7.7 设二进制基带系统的传输特性为

fb＝32kHz。此时对应的理想低通滤波器传输，截止频率为W=16kHz。余弦滚降滤

fb/B。由此可得五种情况下的最小带宽和频带利用率分别为：

7

H(f)=T(1+cos2πfT) |f|<1/2T

0 |f|>1/2T

试确定系统最高的传输速率fb与码元周期Tb。

解：从表达式可知H(f)等效于截止频率为1/2T的低通滤波器。因此其最高的传输速率为1/T，此时码元周期为T。

7.8 请自行推导第II类部分响应系统（参见表7-1）的码间串扰公式。设信号码元序列为x[n]，经过叠加码间串扰后的序列串为y[n]，试推导出y[n]的一般表达式，以及从y[n]恢复x[n]的计算式（假设传输无误）。 略

7.9 设有横向滤波器，其抽头系数为C-1=-0.1，C0＝0.95，C1=-0.05。输入序列x[0]=0.2,x[1]=0.4,x[2]=1,x[3]=0.5,x[4]=0.1，试求其通过横向滤波器之后的输出y[n] 解：由式（7-18，y[n]=

k??N?CNnx[k?n]。计算y[n]为

y[-1]=C[-1]x[-1+1]=-0.1×0.2=-0.02

y[0]=C[-1]x[0+1]+C[0]x[0-0]=-0.1×0.4＋0.95×0.2=0.15

y[1]=C[-1]x[1+1]+C[0]x[1-0]+C[1]x[1-1]=－0.1×1＋0.95×0.4＋(-0.05)×0.2＝0.27 y[2]=C[-1]x[2+1]+C[0]x[2-0]+C[1]x[2-1]=-0.1×0.5＋0.95×1＋(-0.05)×0.4＝0.88 y[3]=C[-1]x[3+1]+C[0]x[3-0]+C[1]x[3-1]=-0.1×0.1＋0.95×0.5＋(-0.05)×1＝0.415 y[4]=C[0]x[4-0]+C[1]x[4-1]=0.95×0.1+(-0.05)×0.5＝0.925 y[5]=C[1]x[5-1]=(-0.05)×0.1=-0.005

7.10 设有单极性非归零码，其0和1码元等概率出现，已知其信噪比为32，试求其误比特率为多少？ 解：单极性非归零码，设其表示码元1的电平为A，则信号平均功率为即

A2/2。又由信噪比32，知其噪声平均功率为?2?A2/64，

??A/8

Q(A)，代入??A/8，可得误比特率为2?由式（7-19），单极性码的误码率为Pe=

8