201011120专科初等几何研究复习题

除书上的例题外，下例复习题希望大家认真完成 一、两条线段相等的证明方法

证明这类问题，常用如下的思考方法：

1．证其为两个全等三角形的对应边．若无现成的全等三角形可用，则可添加辅助线，构造出需要的全等三角形．

2．证其为等腰三角形的两腰，如无现成的等腰三角形可用，则可添加辅助线造成必要的等腰三角形．

3．证其为平行四边形中有关相等的线段，有时也要利用辅助线作成平行四边形． 4．证其为同圆或等圆中的有关相等的线段． 5．利用三角形中位线或梯形中位线的性质． 6．利用相似形．

7．利用等量的传递性等等． 二、线段与角不等的证明方法

要证明两条线段或两个角不等，一般利用已有的线段或角的不等关系定理，或应用不等量公理．如果不好直接利用，那么可以作辅助图形，创造出能够利用已知不等定理和公理的条件，再加以证明．常用的定理有：

1．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

2．在一个三角形中，大边所对的角较大，反之大角所对的边较大．

3．从直线外一点连结直线上所有各点的线段中，以垂直线段为最短．且斜线长者，其射影较长，反之射影长者，斜线较长．

4．在两个三角形中，如果两边对应相等，则其夹角大者，第三边大，反之第三边大者，其夹角大．

5．三角形的外角大于不相邻的内对角．

6．在同圆或等圆中，关于弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角比较大小的有关性质等等． 行线的证明 方法

证明两条直线平行，常常利用下述定理进行思考．

1．两条直线被第三条直线所截：

(1)同位角相等，则两条直线平行； (2)内错角相等，则两条直线平行； (3)同旁内角互补，则两条直线平行．

2．平行于同一条直线的两条直线平行． 3．垂直于同一条直线的两条直线平行． 4．平行四边形的对边平行． 5．三角形的中位线与底边平行． 6．梯形中位线与两底平行．

7．利用比例线段．即如果在图1－30(1)～(4)中AB∥CD，

共点线的证明方法

所谓共点线就是指这些直线通过同一点．要证明三线共点，常常采用以下方法思考． 1．证直线a、b、c共点，可先确定a、b交于一点P，然后在直线c上取两点Q、R，证明P、Q、R共线．这样就把共点线问题转化为共线点问题来解决了．

2．证直线a、b、c共点，可先证a、b交于某点P，然后将P与c上一点Q连结，证明PQ与c重合．

3．证明若干条直线共点，可证它们都通过某一特殊点． 4．应用已知共点线定理等等． 直角三角形的解法

因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC中，C＝90°，角A、B、C的对边分别是a、b、c．那么利用以下关系式：

1．A+B=90°； 2．a＋b=c；

3．a=csinA=ccosB＝b·tgA； 4．b=ccosA=csinB=actgA． 可分四种情况来解直角三角形．

1．已知斜边和一锐角； 2．已知一条直角边和一锐角； 3．已知一斜边和一直角边； 4．已知两条直角边．

一、概念

1、定义9.1.1 若一图形上的各点都具有某种性质，同时具有该性质的点又都在该图形上，则称此图形为具有该性质的点的轨迹。 2、轨迹的两个基本属性：

① 完备性：具有性质P(t)的点都在图形F上

2

2

2

② 纯粹性：图形F上的各点都具有性质P(t) 3、正确的轨迹命题必须同时满足完备性与纯粹性

① 轨迹命题“有定长半径且与一定圆相切的圆的圆心的轨迹是一个圆”不满足完备性； ② 轨迹命题“定圆中有定向的弦的中点的轨迹是一条直线”不满足纯粹性. 作图公法（对尺规功能的约定） 1）过两定点作直线； 2）在一直线上或直线外取点； 3）在一线段上或延长线上取点； 4）两直线的交点；

5）以任一点为圆心，任意长为半径作圆（弧）； 6）一直线与一圆（弧）的交点； 7）两圆（弧）的交点．

几何题的证明

思考题

1.什么是几何证明的一般方法? 2.几何证明的特殊方法包括哪些方法?

3.证明几何题,一般包括哪几个步骤?每个步骤的要点是什么? 4.几何概念大致可分为哪几类,举例说明.

5.单位正方形周界上任意两点之间连一曲线,如果将其分成面积相等的两部分,求证这条曲线的长度不小于1.

6.设E是正方形ABCD内一点,且∠ECD=∠EDC=15°,求证⊿EAB是正三角形(试用反证法证明). 课后练习

1.三角形的垂心到顶点的距离,等于其外心到对边中点距离之二倍.

2.圆內接凸四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于E、F,求证∠E、∠F的平分线互相垂直.

3.在初中几何入门阶段的教学中,如何注意培养学生学习几何的兴趣?

复习思考题

1.在平行四边形ABCD中,M、N各是BC、AD两边的中点,AM、CN交BD于E、F,求证BE=EF=FD.

2.巳知四边形ABCD内接于⊙O,AC⊥BD,OE⊥AB于E,求证OE= CD.

复习思考题

1.若在⊿ABC的外边正方形ABEF和ACGH,则⊿ABC的高线AD必将线段FH平分. 2.⊿ABC的两条高线AD、BE相交于H,延长AD交外接圆于K,求证:HD=DK. 3.在三角形的各边上向外各作一亇正三角形,求证这三亇正三角形的外接圆共点.

几何量的计算

课后练习

1.设G是⊿ABC的重心,求证: BC2+3GA2=CA2+3GB2=AB2+3GC2.

2.在Rt⊿ABC中,巳知∠C=90°,CD⊥AB于D,且⊿ACD、⊿CBD、⊿ABC的面积成等比数列,求∠B的值.

3.以巳知三角形的三条中线为边作三角形,求此三角形和原三角形的面积比. 4.在三角形及四边形的教学中,教师如何引导学生突破几何语言关? 本次复习思考题

1.设⊿ABC的三边为a、b、c,三中线为ma、mb、mc,求证：

4(ma2+mb2+mc2)=3(a2+b2+c2).

2.设⊿ABC的三边为a、b、c,该三角形的外接圆的半径为R,求证: