高考数学（文）二轮复习专题一 三角函数和平面向量 后 记 答题模板 Word版含答案

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【范例赏析】

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(本讲对应学生用书第7~8页)

范 例 赏 析

典例 如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖

AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着AC(AC在扇形AOB的面AOB. 现欲在??AB??上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域

π——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA=1 km，∠AOB=3，∠AOC=θ.

(1)用θ表示CD的长度；

(2)求所需渔网长度(即图中AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.

?

(典例)

【思维引导】

1

【规范解答】

π2π(1)由CD∥OA，∠AOB=3，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=3，∠πCOD=3-θ.

23?π??π?在△OCD中，由正弦定理，得CD=3sin??3-???，θ∈??0，3?

?. 6分 (2)设渔网的长度为f(θ).

23?(1)可知，f(θ)=θ+1+3sin?π?3-??由??， 8分

23?π??π??π(θ)=1-3cos??3-???，因为θ∈??0，3?π?，所以3-θ∈??0，?所以f'3?

?. 10分 ??π-??3πππ令f'(θ)=0，得cos?3??=2，所以3-θ=6，即θ=6. 12分 列表如下：

θ ??0，????6? ?? 6 ????6，3? ?? f'(θ) + 0 - f(θ) ↗ 极大值 ↘

??，π?6?23?所以f(θ)∈?2?6??. ??2，π?6?23?故所需渔网长度的取值范围是??6??(单位：km). 14分

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【总结提升】

(1)本题中，角θ的取值范围决定着最终的结果，所以角θ的范围必须时刻注意.自变量取值范围是解实际问题的关键所在.

(2)与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.

(3)以三角模型为基础，结合导数求解最值是考查热点.求解时，一般极值点的选取是特殊点，这一点可作为回代检验.

【拓展训练】

拓 展 训 练

变式1 (必修4 P132复习题18)如图，在半径为R，圆心角为60°的扇形AOB

AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB的?上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.

(变式1)

【分析】(1)在Rt△PON中，设∠PON=θ，利用直角三角形中的边角关系求得PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，以及MQ和OM，可得矩形MNPQ的面积.(2)由S的解析

3

式并利用正弦函数的定义域及值域知，当2θ+30°=90°时，sin(2θ+30°)max=1，可

33得当θ=30°时，Smax=3R2-6R2，由此可得结论.

【解答】在Rt△PON中，设∠PON=θ，0<θ<60°，则PN=Rsinθ，ON=Rcosθ. 因为四边形PNMQ为矩形，所以MQ=PN=Rsinθ.

MQtan60°故在Rt△OMQ中，OM==

33Rsinθ，所以

3MN=ON-OM=Rcosθ-3Rsinθ.

33则S=PN·MN=RsinθRcosθ-3Rsinθ=R2sinθcosθ-3sin2θ

12=R2

31-cos2?sin2θ-3×2=R

?33?°?sin(2??30)-?36?2?.

因为当2θ+30°=90°时，[sin(2θ+30°)]max=1，

333所以当θ=30°时，Smax=3R2-6R2=6R2，

3所以矩形PNMQ面积的最大值为6R2，相应的∠AOP=30°.

【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.

变式2 如图(1)，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所

AB上选在圆的圆心，∠AOB=60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路，在?一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问：C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大?请说明理由.

(变式2(1))

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【分析】由题意，得四边形ODCE是平行四边形，连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y，可得在△OCD中，∠ODC=120°，∠AOB=60°，利用余弦定理得

233r2=x2+y2+xy，再由基本不等式算出x+y≤3r，当且仅当x=y=3r时等号成立，由此可得当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大.

【解答】如图(2)，根据题意，四边形ODCE是平行四边形.

(变式2(2))

因为∠AOB=60°，所以∠ODC=120°， 连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y，

在△OCD中，根据余弦定理得OC2=OD2+DC2-2OD·DCcos 120°，即r2=x2+y2+xy，

?x?y?4??所以(x+y)2=r2+xy≤r2+?2?，解得(x+y)2≤3r2，

2233故x+y≤3r，当且仅当x=y=3r时，等号成立， 23AB的中点. 所以x+y的最大值为3r，此时C为?AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大. 答：当点C取在?【点评】本题给出圆心角为60°的扇形场地，求修建道路CD与CE的总长最大值，着重考查了利用余弦定理解三角形、基本不等式求最值等知识，属于中档题.

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