2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.2直观图学案北师大版必修2

§2 直观图

1.掌握斜二测画法的步骤.(重点)

2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(重点、难点) 3.通过观察直观图，了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征.

[基础·初探]

教材整理1 斜二测画法的规则

阅读教材P7～P8倒数第3行以上部分，完成下列问题.

1.在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面.

2.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段.

3.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长1

度为原来的.

2

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用斜二测画法画直观图时，在原图x轴上长为4的线段，在直观图中的长度为4.( )

(2)正方形的直观图仍是正方形.( ) (3)平行四边形的直观图仍是平行四边形.( )

(4)用斜二测画法画直观图时，平行于y轴的线段在直观图中长度减半.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 教材整理2 立体图形的直观图的画法

阅读教材P8最后一段至P12“练习”以上部分，完成下列问题. 立体图形直观图画法的“四步曲”

在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.

【解析】 在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm.

【答案】 2 4

[小组合作型]

平面图形的直观图的画法 画出如图1-2-1所示水平放置的等腰梯形的直观图.

图1-2-1

【精彩点拨】 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的画法步骤画直观图. 【自主解答】 (1)如图(1)所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在图(2)中，以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB.

1

(3)在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

2(4)连接B′C′，D′A′，去掉辅助线，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.如图(3)所示.

1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定.

2.要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系.

[再练一题]

1.用斜二测画法画如图1-2-2所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.

【导学号：39292005】

图1-2-2

【解】 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.

(2)画对应的x′轴、y′轴，如图②， 使∠x′O′y′＝45°.

1

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接

2

A′B′，A′C′，去掉辅助线则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图③所示.

空间几何体的直观图的画法

画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.

【精彩点拨】 本题所要画的是四棱锥的直观图，是空间图形，所以要先画底面，先画水平放置的正方形的直观图.再画侧棱，最后成图.

【自主解答】 画法：(1)画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图.

(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. (3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.

(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.

画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于

z轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简

单总结为：

画轴→画底面→画侧棱→成图

[再练一题]

2.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.

【解】 画法：

(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使

PQ＝ cm.

分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，

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B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.

[探究共研型]