数学模型3 - 图文

数学建模作业3

姓名 龙毅 杨松林 苏玉超

学号 20124255 20124274 20126158 1

专业 建筑电气 建筑电气 建筑电气

人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

本文通过对人在雨中奔跑速度与淋雨量的分析，运用优化、统计分析理论等理论基础，针对不同的雨的方向的差异建立了优化模型，合理地解决了人在雨中奔跑速度的问题，并对淋雨量模型的优劣作出评价。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函数关系。分析表明当跑步速度为

vmax?摘要?

时，淋雨量最少。并计算出当雨与人体的夹角θ=0、θ=30°时淋雨量

针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2ms时淋雨量最少 针对问题四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。

针对问题五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。

1、问题的重述

要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

将人简化为一个长方体，高a?1.5m（颈部以下），宽b?0.5m，厚c?0.2m，设跑

v?5m/s步距离d?1000m，跑步最大速度m，雨速u?4m/s，降雨量w?2cm/h，记跑

步速度为v。

(1)不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

(2)雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?，如图1,建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，

o??0,??30计算时的总淋雨量。

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(3)与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度多大，总淋雨量最

o少，计算??30时的总淋雨量。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。

2、模型的假设与符号说明

3.1、模型的假设

1、把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2、问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3、问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。

4、假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变 5、假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

3.2、符号说明 w v h d ? C I D 人的身高 宽度 速度 降雨下落淋雨总降雨大路程 厚度 方向与量 小人的夹 (降角 雨强 度)

3、模型的建立与求解

问题一：

不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降

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雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下： W??2ab?bc?2ac?wdvmax，

利用MATLAB编程求解，可得：W?0.0244m3 问题二：

ss 将降落在人体上的雨滴分成两部分，1 （顶部）2（前面），人体接收的雨量和头

顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量列式求解如下： 头顶：

u1?ucosθs1?bcu1、行走时间有关。

假设降雨量w与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：

w1?u1w1?wcosθW1?w1s1t?wcosθbcdbcdw?cosθvv

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