2018届二轮 概率与概率分布 专题卷 理（全国通用）

专题能力训练18 概率与概率分布

(时间:60分钟 满分:100分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

1.(2017浙江金华十校期末)有各不相同的5个红球、3个黄球、2个白球,事件A:从红球和黄球中各选1个球,事件B:从所有球中选取2个球,则事件A发生是事件B发生的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为( ) A B C D

3.同时掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( ) A B C D

4.中秋节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) A B C D

5.在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξ~B,则P(ξ=k)取最大值的k值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

6.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=( ) A B C D

7.随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=( )

X P 0 2 a p

A.2 B.3 C.4 D.5

8.(2017浙江绍兴一模)已知p>0,q>0,随机变量ξ的分布列如下:

ξ

P

2

2

p q

q p

若E(ξ)=,则p+q=( ) A B C D.1 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

9.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 .

1

10.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是 .

11.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中随机摸出3个小球,记摸到黑球的个数为X,则P(X=2)= ,E(X)= .

12.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游戏经验,每次开启一个新的游戏,这三个关卡他能够通关的概率分别为(这个游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响),则此人在开启一个这种新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为 ,设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数,则随机变量X的数学期望为 . 13.设离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1

3 0.3 4 0.3 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则E(Y)= ,D(Y)= . 14.已知离散型随机变量X的分布列为

X P 0 1 2 a

则变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)=.

三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分15分)2017年3月,智能共享单车项目正式登陆某市,两种车型(“小绿车”“小黄车”)采用分时段计费的方式,“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”,丙租用“小黄车”.

(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;

(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.

16.(本小题满分15分)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束. (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率; (2)记试验次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).

2

参考答案

专题能力训练18 概率与概率分布

1.A 解析 事件A:从红球和黄球中各选1球,能推出事件B:从所有球中选取2球,是充分条件;

事件B:从所有球中选取2球,推不出事件A:从红球和黄球中各选1球,不是必要条件.故选A.

2.A 解析 令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则=“甲不输”. ∵P(A)=,P(B)=,∴P(C)=1-. ∴P()=1-.故甲不输的概率为.

3.C 解析 同时抛掷两个骰子,向上的点数共有36个结果,其中点数之差的绝对值为4的结果有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),共4个,所求概率为,故选C.

4.B 解析 “甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P()=,P()=,P()=,由题意知,A,B,C相互独立.

所以三人都不回老家过节的概率为P()=P()P()P()=. 故至少有一人回老家过节的概率为P=1-. 5.B 解析 由

解得≤k≤,

因为k为自然数,所以k的最大值为1.故选B. 6.B 解析 设P(X=1)=p,P(X=2)=q, ∵E(X)=0×+p+2q=1,① 又+p+q=1,②

222

由①②得p=,q=,∴D(X)=×(0-1)+×(1-1)+×(2-1)=.故选B. 7.C 解析 p=1-,

E(X)=0×+2×+a×=2?a=3,

∴D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,∴D(2X-3)=22D(X)=4. 8.C 解析 ∵p>0,q>0,E(ξ)=, ∴由随机变量ξ的分布列的性质得 ∴p2+q2=(q+p)2-2pq=1-.故选C. 9. 解析 由题意知,所求概率P=.

10. 解析 从A,B中各取一个数,有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的有两种情况(2,2),(3,1),故所求事件的概率P=.

11. 解析 P(X=2)=,

3

由P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=3)=,

ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 p E(X)=.

12. 解析 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 又P(X=2)=, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=3)=.

所以,随机变量X的分布列为 X P 0 1

所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.

13.5.8 8.96 解析 E(X)=0+1×0.1+2×0.1+3×0.3+4×0.3=2.4,D(X)=2.24.∴E(Y)=2E(X)+1=5.8;D(Y)=22D(X)=8.96.

14.1 解析 a+=1,解得a=,所以期望E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×.

15.解 (1)由题意得,甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为. 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A,则P(A)=. 答:甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为. (2)ξ可能取值有2,2.5,3,3.5,4; P(ξ=2)=; P(ξ=2.5)=; P(ξ=3)=; P(ξ=3.5)=; P(ξ=4)=.

甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为

ξ 2 2.5 3

所以E(ξ)=2×+2.5×+3×+3.5×+4×.

16.解 (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A,则P(A)=. (2)由题知X的可能取值为1,2,3,4,则 P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=.

所以X的分布列为

4

2 3 3.5 4 P