《离散数学》复习题及答案

?(?P??Q)?(?P?Q)?(P??Q)?(P?Q)（主析取范式）

8、(R→Q)?P

解：(R→Q)?P?(?R?Q )?P

? (?R?P)?(Q?P) （析取范式） ? (?R?(Q??Q)?P)?((?R?R)?Q?P)

?(?R?Q?P)?(?R??Q?P)?(?R?Q?P)?(R?Q?P) ?(P?Q??R)?(P??Q??R)?(P?Q?R)（主析取范式）

?((R→Q)?P)?(?P??Q??R)?(?P?Q??R）?(P??Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)（原公式否定的主析取范式）

(R→Q)?P?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P?Q??R)

?(P??Q??R)?(P?Q??R)（主合取范式）

9、P→Q

解：P→Q??P?Q（主合取范式）

?(?P?(Q??Q))?((?P?P)?Q)

?(?P?Q)?(?P??Q)?(?P?Q)?(P?Q) ?(?P?Q)?(?P??Q)?(P?Q)（主析取范式）

10、 P??Q

解： P??Q （主合取范式）

?(P?(?Q?Q))?((?P?P)??Q） ?(P??Q)?(P?Q)?(?P??Q)?(P??Q） ?(P??Q)?(P?Q)?(?P??Q)（主析取范式）

11、P?Q

解：P?Q（主析取范式）?(P?(Q??Q))?((P??P)?Q)

?(P??Q)?(P?Q)?(P?Q)?(?P?Q) ?(P??Q)?(P?Q)?(?P?Q)（主合取范式）

12、（P?R）?Q

解：（P?R）?Q

??(P?R)?Q ?(?P??R)?Q

?(?P?Q)?(?R?Q)（合取范式） ?(?P?Q?(R??R))?((?P?P)?Q??R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q??R)?(P?Q??R) ?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q??R)?(P?Q??R) ?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(P?Q??R)（主合取范式） ?（P?R）?Q

?(?P??Q?R)?(?P??Q??R)?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(P??Q??R)

（原公式否定的主析取范式）

（P?R）?Q

?(P?Q??R)?(P?Q?R)?(?P??Q??R)?(?P?Q??R)

?(?P?Q?R)（主析取范式）

13、（P?Q）?R

解：（P?Q）?R

??(?P?Q)?R ?(P??Q)?R(析取范式)

?(P??Q?(R??R))?((P??P)?(Q??Q)?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P?Q?R)

?(?P??Q?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q?R)?(?P?Q?R)

?(?P??Q?R)(主析取范式）

（P?Q）?R

??(?P?Q)?R ?(P??Q)?R(析取范式) ?(P?R)?(?Q?R)(合取范式)

?(P?(Q??Q)?R)?((P??P)??Q?R)

?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(P??Q?R)?(?P??Q?R) ?(P?Q?R)?(P??Q?R)?(?P??Q?R)(主合取范式)

14、(P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

解：(P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

?(?P?(Q?R))?(P?(?Q??R))

?(?P?Q)?(?P?R)?(P??Q)?(P??R)（合取范式） ?(?P?Q?(R??R))?(?P?(Q??Q)?R)?(P??Q?(R??R))

?(P?(Q??Q)??R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q??R)?(P??Q??R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(P??Q?R)

?(P?Q??R)?(P??Q??R)(主合取范式)

?(P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

?(?P??Q??R)?(P?Q?R)(原公式否定的主合取范式) (P?(Q?R))?(?P?(?Q??R))

?(P?Q?R)?(?P??Q??R)(主析取范式)

15、P?(?P?(Q?(?Q?R)))

解：P?(?P?(Q?(?Q?R)))

? P?(P?(Q?(Q?R))) ? P?Q?R(主合取范式) ?(P?Q?R)

?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(P?Q??R)?(?P?Q?R)

?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P??Q??R)

(原公式否定的主合取范式)

(P?Q?R)

?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(P??Q??R)

?(P??Q?R)?(P?Q??R)?(P?Q?R)(主析取范式)

16、(P?Q)?(P?R)

解、(P?Q)?(P?R)

?(?P?Q)?(?P?R) (合取范式) ?(?P?Q?(R??R)?(?P?(?Q?Q)?R)

?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P?Q?R) ?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)(主合取范式)

(P?Q)?(P?R)

?(?P?Q)?(?P?R) ??P?(Q?R)(合取范式)

?(?P?(Q??Q)?(R??R))?((?P?P)?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)

?(?P?Q?R)?(P?Q?R)

?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(P?Q?R)

(主析取范式)

三、证明：

1、P→Q，?Q?R，?R，?S?P=>?S

证明：

(1) ?R 前提 (2) ?Q?R 前提 (3) ?Q （1），（2） (4) P→Q 前提 (5) ?P （3），（4） (6) ?S?P 前提 (7) ?S （5），（6）

2、A→(B→C)，C→(?D?E)，?F→(D??E),A=>B→F

证明：

(1) A 前提 (2) A→(B→C) 前提 (3) B→C （1），（2）

(4) B 附加前提 (5) C （3），（4） (6) C→(?D?E) 前提 (7) ?D?E （5），（6） (8) ?F→(D??E) 前提