2016年浙江省宁波市中考数学试题(解析版)

∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃． ∴∠ACB=96°或114°． （3）由已知AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC， ∴

=

，设BD=x，

2

∴（）=x（x+2）， ∵x＞0， ∴x=﹣1，

∵△BCD∽△BAC， ∴

=

=

×2=

， ﹣

．

∴CD=

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．

26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tan∠AOC=，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG． （1）求点B的坐标．

（2）当OG=4时，求AG的长． （3）求证：GA平分∠OGE．

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（4）连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，构建直角△ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到AH、BH的长度，则易求点B的坐标；

（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建直角△OAM和直角△AMG，通过解直角△OAM求得直角边AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求AG的长度；

（3）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用该全等三角形的对应边相等得到AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论；

（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，构建相似三角形：△GOA∽△BAP，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得GQ的长度．结合已知条件tan∠AOC=，来求边OQ的长度，即可得到点G的坐标． 【解答】解：（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H， ∵四边形OABC为菱形， ∴OC∥AB，

∴∠BAH=∠COA． ∵tan∠AOC=，

∴tan∠BAH=．

又∵在直角△BAH中，AB=5，

∴BH=AB=4，AH=AB=3， ∴OH=OA+AH=5+3=8，

∴点B的坐标为（8，4）；

（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M， 在直角△AOM中，∵tan∠AOC=，OA=5， ∴AM=OA=4，OM=OA=3， ∵OG=4，

∴GM=OG﹣OM=4﹣3=1，

∴AG===；

（3）如图1，过点A作AN⊥EF于点N，

∵在△AOM与△AFN中，∴△AOM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN，

∴GA平分∠OGE．

，

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（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q， 由旋转可知：∠OAF=∠BAD=α． ∵AB=AD，

∴∠ABP=，

∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF， ∴∠OGA=∠EGA=∴∠OGA=ABP， 又∵∠GOA=∠BAP， ∴△GOA∽△BAP， ∴

=

，

．

，

∴GQ=×4=

∵tan∠AOC=， ∴OQ=∴G（

×=，

， ）．

【点评】本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形以及勾股定理等知识点，解答该题的难点在于作出辅助线，构建相关的图形的性质．

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