届高三数学寒假作业11(附加题部分、理科专用)

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2013届高三数学寒假作业11(附加题部分、理科专用)

??3?1、解：∵圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点，

32????3?∴在?sin??????中令?=0，得??1.

3?2?∴圆C的圆心坐标为（1，0）. ∵圆C经过点P?2，?，∴圆C的半径为PC?4???22?12?2?1?2cos?4=1.

∴圆C经过极点.∴圆C的极坐标方程为?=2cos?.

2、解:(1)由已知可得:点A,B,C,D的极坐标分别为(2,?3),(2,5?4?11?),(2,),(2,)； 636 所以点A,B,C,D的直角坐标分别为A(1,3),B(?3,1),C(?1,?3),D(3,?1)

(2)设P(2cos?,3sin?)；令t?PA?PB?PC?PD，则

2222t?16cos2??36sin2??16

?32?20sin2?

因为0?sin??1,所以t 的取值范围是?32,52?

2

3、解:(1)设曲线2x?2xy?y?1上任一点P(x,y)在矩阵A对应的变换下的像是P?(x?,y?),由

22?x???a0??x??ax???x??ax22?????????,得?,因为P?(x?,y?)在圆x?y?1上,所以??y???b1??y??bx?y?????????y??bx?y(ax)2?(bx?y)2?1,化简可得(a2?b2)x2?2bxy?y2?1

依题意可得(a?b)?2,2b?2?a?1,b?1或a??1,b?1 而由a?0可得a?b?1

22?10?2?10??10??10??10?22?1(2)由(1)A???,A?????????|A|?1,(A)???

11111121?21??????????

4、解:以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

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M?，1，?. 0，0?，C?1，1，0?，2，0?，1，1?，0，1?，依题意得B?1， D?0， E?0， F?0，（1）解： DE??0， BF???1，0，1?，?1，1?，?1?21?2?BF?DE0?0?11 于是cosBF，DE???.2?22BFDE所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.（5分）

?u?CE?0，（2）解：设平面CDE的法向量为u?(x，y，z)，则? ???u?DE?0.0??x?z?0，于是?令x?1，可得u?(1，1，1）.

??y?z?0.又由题设，平面ACD的一个法向量为

u?v0?0?13v?(0，0，1).所以，cosu，v???. （

uv33?1

5、解：（1）要得60分，其余四道题必须全做对，所以得60分的概率为 P?11111????. 223448

（2）依题意，该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分为40表示只做对了8道题，其余4

题都做错，故求概率为P(??40)? 同样可求得得分为45分的概率为 P(??45)?C2????111231????； 22348；

11231113112117?????????2234223422344817;487得分是55分的概率为P(??55)?;

481得分是60分的概率为P(??60)?.48得分是50分的概率为P(??50)?于是ξ的分布列为 ξ P

40 45 50 55 60 6 48

17 4817 48

7 481 486171771575?45??50??55??60??. 484848484812575 该考生所得分数的数学期望为

12 故E??40?

6、 解：（1）a1?2时，a2?f(2)?2?sin2?(0,2)， 只供学习与交流

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所以sina2?0，

所以a3?a2??sina2?0， 所以a2?a3.

*（2）用数学归纳证明当0?a1?1时，0?an?1对任意n?N恒成立，

①n?1时，结论成立； ②设n?k时，0?ak?1，

则当n?k?1时，

ak?1?ak??sinak?0，即ak?1?ak?1，

当x?(0,1)时，f'(x)?1?cosx?0， 即f(x)是(0,1)上的单调递增增函数， 所以ak?1?f(ak)?f(0)?0，即0?ak?1?1 即n?k?1时，结论成立，

*综上可得，当0?a1?1时，0?an?1对任意n?N恒成立.

2x12x27、解：设A(x1,),B(x2,)

44

2x12x2),FB?(x2,?1) ?焦点F（0,1） ?AF?(?x1,1?44?x1??x2?2x2x12?22?1)?x2(1?)?0 ? AF??FB ?? 消?得x1(x1x21???(?1)44?44?

化简整理得(x1?x2)(x1x2?1)?0 4只供学习与交流