解析几何专题讲座

29、已知直线y??x?1与椭圆x2a2?yb2?1(a?b?0)相交于A、B两点。

（1）若椭圆的离心率为

3，焦距为2，求椭圆的标准方程；

3（2）若OA?OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e?[122,2]时，求椭圆的长轴长的

最大值。

10．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2?y2?10x?20?0相切．过点P??4,0?作

斜率为

1l4的直线，使得l和G交于A,B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满

足PA?PB?PC2．

（Ⅰ）求双曲线G的渐近线的方程；

（Ⅱ）求双曲线G的方程；

（Ⅲ）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．

参考答案

CACBA AAB

（9）?e?333,即ca?3.又2c?2,解得a?3,则b?a2?c2?2.

2?椭圆的标准方程为x

3?y22?1.?x22（2）由??a2?yb2?1,消去y得(a2?b2)?x2?2a2x?a2?(1?b2)?0, ??y??x?1,由??(?2a2)2?4a2(a2?b2)(1?b2)?0,整理得a2?b2?1. 22设A(x1,y1,),B(x2,y2),则x1?x2?2a2a(1?b)a2?b2,x1x2?a2?b2. ?y1y2?(?x1?1)(?x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1. …………7分 ?OA?OB(其中O为坐标原点),?x1x2?y1y2?0,即2x1x2?(x1?x2)?1?0.2?2a(1?b2)22222a2?b2?2aa2?b2?1?0.整理得a?b?2ab?0.

?b2?a2?c2?a2?a2e2,代入上式得2a2?1?11?e2，

?a2?1(1?11221?e2).?e?[2,2]

?723,适合条件a2?b26?a?2?1,

由此得

42?42a?6?a?62. 3?26,故长轴长的最大值为6.

10

(1)证明：由题意可知 A1(8,4)，A2(18,6)，A3(32,8)，

∴k6－418－61

A1A2＝18－8＝5，kA2A3＝32－18＝7.

∵kA1A2≠kA2A3，

∴顶点A1，A2，A3不在同一条直线上． (2)证明：由题意可知，顶点An的横坐标 xd＋aa12

n＝1＋2＋?＋an－1＋2an＝2(n＋1)，

顶点A1

n的纵坐标yn＝2

an＝2(n＋1)．

∵对任意正整数n，点An(xn，yn)的坐标满足方程y2＝2x，

∴所有顶点A2

n均落在抛物线y＝2x上．

(3)解：方法一：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是 x＋11

n＝d2a＋(n－1)a＋2(n－1)2d，

y1

n＝2

[a＋(n－1)d]，

消去n－1，可得x2

2a?d－a?n＝dyn＋d＋2d

.

?d为使得所有顶点A2

n

均落在抛物线y＝2px(p>0)上，则有?2

＝2p?d＋a?d－a?

2d

＝0解得d＝4p，a＝8p.

∴a、d所应满足的关系式是a＝2d.

x11＝d＋方法二：点A?

2

a1

(x1

，y1

)的坐标为??y1

＝1

2a

∵点A1(x1，y1)在抛物线y2＝2px上， y2a2∴p＝12x＝?2d＋a?

. 14x332＝2a＋又点A2

d

2

(x2

，y?

2

)的坐标为??y2

＝1

2?a＋d?

且点A2(x2，y2)也在抛物线上，

∵a>0，d>0，把点A2(x2，y2)代入抛物线方程，解得a＝2d. 因此p＝d4，∴抛物线方程为y2＝d

2

x.

?

x＝d＋12a＋?n－1?a＋1?n＋1?22

n又?2?n－1?d＝2

d?yn

＝1

2[a＋?n－1?d]＝n＋12

d

∴所有顶点Axd

n(n，yn)落在抛物线y2＝2x上，

∴a、d所应满足的关系式是a＝2d.

10、（Ⅰ）设双曲线G的渐近线的方程为：y?kx，则由渐近线与圆x2?y2?10x?20?0相切可得：5k?5．

k2?1所以，k??12．

双曲线G的渐近线的方程为：y??12x．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G的方程为：x2?4y2?m．

把直线l的方程y?14?x?4?代入双曲线方程，整理得3x2?8x?16?4m?0．

则x8, x16?4mA?xB?3AxB??3 （＊）

∵ PA?PB?PC2，P,A,B,C共线且P在线段AB上，

∴ ?x2P?xA??xB?xP???xP?xC?，

即：?xB?4???4?xA??16，整理得：4?xA?xB??xAxB?32?0 将（＊）代入上式可解得：m?28． 2所以，双曲线的方程为

xy228?7?1．

（Ⅲ）由题可设椭圆S的方程为：x2228?ya2?1?a?27?．下面我们来求出S中垂直于l的

平行弦中点的轨迹．

设弦的两个端点分别为M?x1,y1?,N?x2,y2?，MN的中点为P?x0,y0?，则

?x22?1y1??2?1?28a?x2． 2?28?y22?a2?1两式作差得：

?x1?x2??x1?x2?2??y1?y2?28??y1?ya2?0

由于

y1?y2x??4，x1?x2?2x0,y1?y2?2y0

1?x2

，

所以，

x028?4y0a2?0，

x284ya2所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线??0截在椭圆S内的部分．

又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，

a2112?12．所以，a2?56，

椭圆S的方程为：

x228?y256?1．