[精品]课堂新坐标2016 - 2017学年高中数学第一章三角函数1.3蝗制学案北师大版必修4

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§3 弧度制

1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．

2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)

[基础·初探]

教材整理 弧度制

阅读教材P9～P11，完成下列问题． 1．弧度制的定义

在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．

2．角度制与弧度制的互化 (1)弧度数

①正角的弧度数是一个正数； ②负角的弧度数是一个负数； ③零角的弧度数是0；

④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系． (2)弧度数的计算 |α|＝.如图1－3－1：

lr

图1－3－1

(3)角度制与弧度制的换算

1

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图1－3－2

(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 0 1° 30° 45° π 460° π 390° π 2120° 2π 3135° 3π 4150° 5π 6180° π 270° 3π 2360° 2π 弧度 ππ 18063.弧长公式与扇形面积公式 已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.

弧长公式 扇形面积公式 角度制 弧度制 l＝|n|πr 180°2l＝|α|r S＝l·r＝|α|r2

1212|n|πrS＝ 360°判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) 11

(2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.( )

3602π(3)根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．( )

(4)不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关．( ) 【解析】 (1)正确． (2)正确.1度的角是周角的

11

，1弧度的角是周角的. 3602π

(3)正确．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．

(4)错误．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________

2

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解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

弧度制与角度制的互化 将下列角度与弧度进行互化． 7π11

(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.

125

π

【精彩点拨】 本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×

180180°

＝弧度数，弧度数×＝度数．

π

20ππ

【自主解答】 (1)20°＝＝.

180915π

(2)－15°＝－π＝－. 1801277

(3)π＝×180°＝105°. 12121111

(4)－π＝－×180°＝－396°.

55

角度制与弧度制互化的策略

1．原则

π180°牢记180°＝π rad.充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算．

180π2．方法

设一个角的弧度数为α，角度数为n.则α rad＝α·3．注意事项

(1)将角度化为弧度，当角度中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利π

用1°＝ rad化为弧度便可．

180

180°π

；n°＝n· rad. π180

3

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(2)以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．

[再练一题]

5

1．将112°30′化为弧度，将－π化为度.

12

【导学号：66470003】

π5π180°55

【解】 112°30′＝112.5°＝112.5×＝rad，又1 rad＝，∴－π rad＝－1808π1212180°

π×＝－75°.

π

用弧度制表示终边相同的角 (1)将－1 500°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角； 2π

(2)在0°～720°范围内，找出与角终边相同的角．

5

【精彩点拨】 (1)把角度换算为弧度，表示成2kπ＋α(k∈Z)的形式即可求解； (2)把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整k使待求角在[0°，720°)内． π25π5π

【自主解答】 (1)－1 500°＝－1 500×＝－＝－10π＋.

180335π

∵是第四象限角，∴－1 500°是第四象限角． 3

2π22π

(2)∵＝×180°＝72°，∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0

5552π

时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与角终边相同的角为72°，

5432°.

[再练一题]

3ππ

2．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. 53

(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；

(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角． 【解】 (1)∵180°＝π rad，

570π19π5π

∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，

18066750π25ππ

α2＝750°＝＝＝2×2π＋.

18066∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．

4