2011-2018年新课标全国卷1理科数学高考真题三角函数分类汇编（纯WORD版）

2011-2018年全国卷1理科数学高考真题三角函数分类汇编

1.(2011·课标全国，理5文7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( ) 433A．－ B．－ C.

555

4

D. 5

ABBC3

＝＝＝2，sinCsinAsin60°

∴AB＝2sinC，BC＝2sinA，AB＋2BC＝2(sinC＋2sinA)＝2[sinC＋2sin(120°－C)]＝2(3cosC＋2sinC)＝27

23

sin(C＋φ)(其中cosφ＝，sinφ＝)．∴当C＋φ＝90°，

77

解析 由正弦定理可得

即C＝90°－φ时，AB＋2BC＝27sin(C＋φ)取得最大值

27.

法1转化为角的关系27 法2判别式法？值得探讨

解析 由题意知tan θ＝2，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θ1－tan2θ1－22322＝2＝2＝－，故选B. 5cosθ＋sinθ1＋tanθ1＋2答案 B

2．(2011·新课标全国，理11)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)π

＋cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )

()4.(2012课标全国,理9)已知ω＞0，函数f(x)＝ππ

sinωx＋4在2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )

15131

A.2，4 B.2，4 C.0，2 D．(0，2] πωππππ

解析 由＜x＜π得，＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y

22444π3

＝sin α在2，2π上递减，

ωπππ??2＋4≥2，15所以?解得≤ω≤，故选A.

24π3

ωπ＋≤π，??42答案 A

5.(2013课标全国,理15)设当x＝θ 时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________． 解析 f(x)＝sin x－2cos x

12

sin x－cos x?， 55?12

，sin α＝－， 55

()()

()

π3π

B．f(x)在(4，4)单调递减

π

C．f(x)在(0，2)单调递增

π3π

D．f(x)在(4，4)单调递增

π

＝ 2sinωx＋φ＋4， ∵周期T＝

2π

＝π，∴ω＝2. ωπ

A．f(x)在0，2单调递减

[][](]()

解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)

()又f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数， πππ

∴φ＋＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z.

424ππ又|φ|＜，∴φ＝，

24

π

∴f(x)＝2sin2x＋2＝2cos 2x，易得f(x)在

＝5?

?

()令cos α＝

()

0，

π

2上单调递减，故选A.

则f(x)＝5sin(α＋x)，

π

当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)

2π

有最大值5，即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cos θ

2

答案 A

3.(2011·课标全国，理16)在△ABC中，∠B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．

答案 27

1

ππ

＝cos2kπ＋2－α＝cos2－α＝ sin α＝－

225＝－. 55

()()

ππππ

0<－α<，因此α－β＝－α，所以2α－β＝，故选2222C.

8.(2014·新课标全国Ⅰ，理16)已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

解析 因为a＝2，所以(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2b2＋c2－a2bc1＝bc，由余弦定理可得cos A＝＝＝，2bc2bc2π1b2＋c2－42bc－4

又0

所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，由三角形面积1133

公式知S△ABC＝bcsin A＝bc·＝bc≤3，故

2224△ABC面积的最大值为3. 答案

3

25

答案 － 5

6.(2014·新课标全国Ⅰ理6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )

[]

π1

时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；当x∈(2，π]时，f(x)

2

π

解析 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，当x∈0，21＝－cos x·sin x＝－sin 2x，故选C.

2

答案 C

π

7.(2014·新课标全国Ⅰ理8)设α∈0，2，π1＋sin ββ∈0，2，且tan α＝，则( )

cos βπ

A．3α－β＝

2π

C．2α－β＝

2

π

B．3α＋β＝ 2π

D．2α＋β＝

2

9．(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos

()

160°sin 10°＝( ) A．－

3311

B. C．－ D. 2222

()

解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 110°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.

2答案 D

10．(2015·新课标全国Ⅰ，理8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

1＋sin βsin α1＋sin β

解析 由tan α＝得＝，即sin

cos βcos αcos βαcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，

()()ππππ

又因为α∈(0，2)，β∈(0，2)，所以－<α－β<，

22

ππ

又cos α＝sin2－α，所以sin(α－β)＝sin2－α，

()13

B.(2kπ－4，2kπ＋4)，k∈Z

13

A.kπ－4，kπ＋4，k∈Z 2

1313

C.k－4，k＋4，k∈Z D.2k－4，2k＋4，k∈Z T51

解析1 由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D

24451

解析2 .D 由图象知，周期T＝24－4＝2， ∴

2π

＝2，∴ω＝π. ω()()最大值为( ) （A）11

（B）9

（C）7

（D）5

13. (2017·新课标全国Ⅰ，理9)已知曲线C1：y＝cos 2π

x，C2：y＝sin2x＋3，则下面结论正确的是( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不π

变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

6C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不

()()1π

由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

42ππ

不妨取φ＝，∴f(x)＝cosπx＋4.

4

π13

由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－

444k∈Z，答案 D

11.(2015·新课标全国Ⅰ，理16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

答案：(6－2，6＋2)

()变，再把得到的曲线向左平移C2

π

个单位长度，得到曲线12

1

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不

2π

变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

6C2

1

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不

2变，再把得到的曲线向左平移C2

π

个单位长度，得到曲线12

解析：

如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF＜AB＜BE.

在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，

CF＝BC＝2，∴ BF＝2＋2－2×2×2cos 30°＝6－2.

在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°， BE＝CE，BC＝2，

BE2

＝， sin 75°sin 30°

22π

解析 易知C1：y＝cos x＝sinx＋2，把曲线C1上的1

各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函2π

数y＝sin2x＋2的图象，再把所得函数的图象向左平移

πππ

个单位长度，可得函数y＝sin?2x＋12＋?＝122??

()()

()2π

sin2x＋3的图象，即曲线C2，因此D项正确. 答案 D

14.(2018·新课标全国Ⅰ，理16)已知函数 f (x) ＝2sinx+sin2x，则 f (x) 的最小值是 ．

【解答】解：由题意可得T＝2π是 f (x)＝2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑 f (x)＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′(x)＝2cosx+2cos2x 3

()

6＋22

∴ BE＝×＝6＋2.

142∴

6－2＜AB＜6＋2.

12.(2016·新课标全国Ⅰ，理16)已知函数 f πππ

x= 为 (x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|≤), x =－为 f (x) 的零点，

244y = f (x)图像的对称轴，且 f (x) 在(

π5π

,)单调，则ω 的1836

＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 1

令f′(x)＝0可解得cosx＝或cosx＝﹣1，

2π5π

可得此时x＝，π或 ；

33

π5π

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x＝，π或 和边33界点x＝0中取到，

π335π33

计算可得 f ()＝， f (π)＝0， f () ＝﹣， f

3232(0)=0，

33

∴函数的最小值为﹣，

233

故答案为：﹣．

2

4