2014.10.23四十一中陶春霞《勾股定理》教材分析

西城区教育研修学院·初二数学研修活动 2014.10.23

2、如图，池塘边有两点A、B，点C在与BA方向成直角的AC方向上。测得CB=-60m，AC=20m. 你能求出A、B两点间的距离么？

3、如图一梯子AB为2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯米子下端B与墙角C处的距离为1.5米.梯子下滑后停在DE位置上，测得BD=0.5米，问梯子顶端也恰好下落了0.5米吗？说说你的理由.

A

A

E

B

CBD (第1题) (第2题) C (第3题)

4、有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇. 它高出水面l尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点. 它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? （教材29页第10题，出自我国数学著作《九章算术》）

5、平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向. 甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm/min. 结果甲蚂蚁用了2min，

乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远？

6、如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)． （类似，教材39页第12题）

B C C B C

A A D A C7、如图，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直. 现要从点E处开设通往村庄EA、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：

B方案一：E?D?A?B；

方案二：E?C?B?A. 经测量得AB=43千米，BC=10

千米，∠BDC=45°，?ABD?15?.

已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为每千米4万元. 求（1）河宽AD（结果保留根号）；（2）公路CD的长；（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由.

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知识点（五）斜三角形可转化为直角三角形研究

探究：如图，在△ABC中，∠B=30°,∠BAC=105°,AB=8.求BC的长.

8练习：

30?A105?1． 已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2-2，

BC求BC的长.

2． 某三角形的两个角分别为105°和45°，且45°角所对的边长为2，则该三角形的周

长是 ．

3、在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①，根据勾股定理，则a2?b2 =c2，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜

想a2?b2与c2的关系，并证明你的结论。

知识点（六）探索勾股定理的证明

有一些问题是以动手操作的形式来考察勾股定理的证明方法，故注意积累用拼图发现和验证勾股定理的证明思想.一类是利用一些全等的直角三角形纸片拼成正方形或直角梯形，（如弦图和总统证法），另一类是将一种图案通过割补法转化为另一种几何图案，通过面积的计算方式不同从而建立三边之间的关系，获得勾股定理的证明.下面的例子就是用割补法验证勾股定理.

Cc如图，沿虚线剪下三个直角三角形A、B、C，再将它aA'222们分别补在A、B、C'位置，从而有a?b?c；在图2

''B'C'AbB中沿虚线剪开后，将右边部分翻转180°后拼成如图3，从而

22有a?b?2?11ab?2?ab?c2，即a2?b2?c2。 22练习

1、用硬纸片做成的两个全等直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边为c和以c为

直角边的等腰直角三角形. 请开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. ①画出拼成的这个图形的示意图； ②用这个图形证明勾股定理. 2、作一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内作正方形ABDE，过D作DF⊥BC，交BC的延长线于F，BC延长线交DE于I. 在AC上截取CG=CB，作HG⊥AC交AB于H，这样就将正方形ABDE分成①、②、③、④、⑤五个部分，将它们剪开就得到一付五巧板. 你能利用两副五巧板进行拼图，验证勾股定理吗？自己拼一拼.

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§2勾股定理的逆定理（一种以长度的计算确定角度的方法-------‘数’←→‘形’）

如果三角形的三边长a,b,c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形，其中

c所对的角是直角.

（1）勾股定理的逆定理是判别一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状.

当a2?b2?c2时，以a,b,c为边的三角形是直角三角形（∠C=90°）； 当a2?b2?c2时，以a,b,c为边的三角形是钝角三角形（90°<∠C < 180°）； 当a2?b2?c2时，以a,b,c为边的三角形是是锐角三角形（0°<∠C < 90°）. （2）定理中a,b,c及a2?b2?c2只是一种表现形式. 若三边长a,b,c满足a2?c2?b2，那么这个三角形是直角三角形，其中b所对的角是直角.

（3）逆定理成立了，才能说明存在直角三角形，从而才能出现斜边直角边的概念

在用文字叙述时，不能说成“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。”

（4）课本中证明逆命题的思路有同一法的味道，对部分学生来说较为新鲜，非常有启发意义。

知识点(一)勾股定理逆定理的应用. 探索

1、 书上古埃及人画直角的方法。据说我国古代大禹治水测量 工地时，也用类似的方法确定直角。你知道其中的道理吗？ 2、请画一个三角形，使它的三边长分别为

（1）2.5cm,6cm,6.5cm； （2）4cm,7.5cm,8.5cm

222（3）猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角

形.

到目前为止你有多少种方法证明一个三角形是直角三角形？ ①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。 练习：1、根据下列条件，判断△ABC是否是直角三角形

（1）a?45,b?53,c?28 （2）a?2?1,b?2?1,c?6

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（3）a?m2?n2,b?m2?n2,c?2mn(m?n,m、n为正整数） （4）a:b:c?10:24:26 （5）n2?1,2n,n2?1(n?1)

2、若一个三角形的三边长分别是m和m?2,m?4，当m= 时，它是直角三角形. 3、一个三角形三边之比为5：12：13，且周长为60厘米，则它的面积为 . 4、已知：a,b,c为△ABC的三边且满足a2?b2?c2?338?10a?24b?26c， 试判断△ABC的形状.

5、已知k?1,b?2k,a?c?2k2,ac?k4?1，判断以a,b,c为边的三角形的形状. 6. 已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.

知识点（二）：互逆命题、互逆定理 B探索

DCA命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.

222命题2：如果三角形的三边长a,b,c满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形.

命题1、命题2的题设和结论分别是什么？它们之间有什么关系？ 互逆命题的定义：

互逆的两个命题的真假情况如何？

练习：是否所有互逆的两个命题都是同真或同假？请举例说明.

教材33页练习2，教材34页复习巩固2

知识点（三）：勾股数

222背景知识：a?b?c本身就是一个关于a,b,c的不定方程，显然它有无数多组解，

满足该方程的正整数解a,b,c通常叫做勾股数组. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，公式为：a?121(m?n2)，b?mn，c?(m2?n2)，其中m,n为互22质的奇数(m?n)，则a,b,c为勾股数. 国外最先给出勾股数通解公式为：a?2mn，

b?m2?n2，c?m2?n2，其中m,n(m?n)是互质且一奇一偶的任意正整数，则a,b,c

为勾股数，这是由希腊的丢番图给出的. 毕达哥拉斯发现的：

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