2020年高考理科数学大一轮提分讲义第2章 第5节 幂函数与二次函数

二次函数的单调性

函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a

的取值范围是( )

A．[－3,0) C．[－2,0]

B．(－∞，－3] D．[－3,0]

D [当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 3－a

当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝2a， 由f(x)在[－1，＋∞)上递减知

??a＜0，?3－a??2a≤－1，

解得－3≤a＜0.

综上，a的取值范围为[－3,0]．]

[母题探究] 若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________. 3－a－3 [由题意知f(x)必为二次函数且a＜0，又2a＝－1，∴a＝－3.] 二次函数单调性问题的求解策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．

(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．

二次函数的最值问题

9

设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．[解] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；

当t＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值f(t)＝t2－2t＋2.

t2＋1，t＜0，??

综上可知，f(x)min＝?1，0≤t≤1，

??t2－2t＋2，t＞1.

图(1) 图(2) 图(3)

[逆向问题] 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________． －1或2 [函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a. 当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， 所以1－a＝2，所以a＝－1. 当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1， 所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0， 1±5所以a＝2(舍去)． 10

当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2.] 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区

间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．

二次函数中的恒成立问题

(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)

＜0成立，则实数m的取值范围是________；

(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．

?2?

(1)?－，0? (2)(－∞，1) [(1)作出二次函数f(x)的草图如?2?图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，

??f?m?＜0，则有?

??f?m＋1?＜0，

22??m＋m－1＜0，即?

2???m＋1?＋m?m＋1?－1＜0，

2

解得－2＜m＜0.

(2)由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立． 设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， 则g(x)在[－3，－1]上递减． ∴g(x)min＝g(－1)＝1.

∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．]

由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

11

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

[教师备选例题] 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)． ?f?x?，x＞0，(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝?求F(2)－f?x?，x＜0，?＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围． [解] (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0， b且－2a＝－1， 解得a＝1，b＝2， 所以f(x)＝(x＋1)2. 2???x＋1?，x＞0，所以F(x)＝? 2??－?x＋1?，x＜0. 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 11即b≤x－x且b≥－x－x在(0,1]上恒成立． 11又当x∈(0,1]时，－x的最小值为0，－xx－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0. 故b的取值范围是[－2,0]． 1.若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( )

12

A B C D

C [因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a＜0，bb

＜0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－2a＜0，只有选项C适合．]

7

2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为[4，4]，则m的取值范围为( )

A.(0,4] 3

C.[2，3]

3

B.[2，4] 3

D.[2，＋∞)

37

C [y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋4的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，73

又值域为[4，4]，根据二次函数图象的对称性知2≤m≤3，故选C.]

3．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．

[0,2] [依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a＞0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.]

13