2020年高考理科数学大一轮提分讲义第2章 第5节 幂函数与二次函数

第五节 幂函数与二次函数

[最新考纲] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

1

12x，y＝的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次

x

函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

1．幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 性质 单调性 在R上单调递增 公共点 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质

1

y＝x y＝x 2y＝x 31y＝x2 y＝x－1 R R 奇函数 R R R {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶函数 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 在(－∞，0){y|y≥0} 偶函数 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 奇函数 在R上单调递增 (1,1) 在[0，＋∞)上单和(0，＋∞)调递增 上单调递减 解析式 图象 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 定义域 值域 R ?4ac－b2??? ，＋∞?4a?R 4ac－b2???－∞，? 4a??单调性 b??－∞，－??上单调递在x∈b??2a??在x∈?－∞，－2a?上单调递减； ??增； ?b?在x∈?－2a，＋∞?上单调递增 ?b???在x∈?－2a，＋∞?上单调递减 ??b函数的图象关于直线x＝－2a对称 对称性 [常用结论] 1．幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；

(2)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．

2．一元二次不等式恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”； (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数

12y＝2x是幂函数．(

)

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．( ) 4ac－b2

(4)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4a.( )

2

(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )

(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系

2

中的开口大小．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、教材改编

?12?

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?，则k＋α＝( )

?22?1

A.2 3C.2

B．1 D．2

C [因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点213?12??1?

?，?，所以?2?＝，解得α＝，则k＋α＝.]

222???22?

2.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )

A．c＜b＜a C．b＜c＜a

B．a＜b＜c D．a＜c＜b

α

D [根据幂函数的性质，可知选D.]

3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )

A．a≥3 C．a＜－3

B．a≤3 D．a≤－3

D [函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]

4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]， ∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1， 又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，

3

∴g(x)max＝3，

即g(x)的值域为[－1,3]．]

考点1 幂函数的图象及性质 幂函数的性质与图象特征的关系

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.

1.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

1

1

D [设幂函数f(x)＝x，则f(3)＝3＝3，解得α＝2，则f(x)＝x2＝x，是

α

α

非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]

2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )

A．－2 C．1或－2

B．1 D．m≠

－1±52

B [因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，

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